Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27616 / 21471
↖ ↑ ↗
← N 52.593038°
W 28.300781°		 ← 371.04 m → N 52.593038°
W 28.295288°		 →
↑
371.05 m
↓
↑
371.05 m
↓
N 52.589701°
W 28.300781°		 ← 371.06 m →
137 677 m²		 N 52.589701°
W 28.295288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421394348144531 y=0.327629089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421394348144531 × 216)
    floor (0.421394348144531 × 65536)
    floor (27616.5)     		tx = 27616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327629089355469 × 216)
    floor (0.327629089355469 × 65536)
    floor (21471.5)     		ty = 21471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27616 / 21471 ti = "16/27616/21471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27616/21471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27616 ÷ 216
    27616 ÷ 65536     		x = 0.42138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21471 ÷ 216
    21471 ÷ 65536     		y = 0.327621459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42138671875 × 2 - 1) × π
    -0.1572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49394181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327621459960938 × 2 - 1) × π
    0.344757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08308631001555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49394181} λ = -0.49394181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08308631001555))-π/2
    2×atan(2.95378178398774)-π/2
    2×1.24435900036513-π/2
    2.48871800073026-1.57079632675     		φ = 0.91792167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49394181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.300781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91792167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.593038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27616 KachelY 21471 -0.49394181 0.91792167 -28.300781 52.593038
    Oben rechts KachelX + 1 27617 KachelY 21471 -0.49384594 0.91792167 -28.295288 52.593038
    Unten links KachelX 27616 KachelY + 1 21472 -0.49394181 0.91786343 -28.300781 52.589701
    Unten rechts KachelX + 1 27617 KachelY + 1 21472 -0.49384594 0.91786343 -28.295288 52.589701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91792167-0.91786343) × R
    5.82399999999872e-05 × 6371000     		dl = 371.047039999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91792167-0.91786343) × R
    5.82399999999872e-05 × 6371000     		dr = 371.047039999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49394181--0.49384594) × cos(0.91792167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607472369761887 × 6371000     		do = 371.03669406347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49394181--0.49384594) × cos(0.91786343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607518631140303 × 6371000     		du = 371.06494994763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91792167)-sin(0.91786343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607472369761887-0.607518631140303)×R²
    abs(-0.49384594--0.49394181)×4.62613784162347e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62613784162347e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62613784162347e-05×40589641000000     		ar = 137677.309233611m²