Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27615 / 9443
↖ ↑ ↗
← N 77.801289°
W 28.306275°		 ← 129.07 m → N 77.801289°
W 28.300781°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
N 77.800128°
W 28.306275°		 ← 129.09 m →
16 661 m²		 N 77.800128°
W 28.300781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421379089355469 y=0.144096374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421379089355469 × 216)
    floor (0.421379089355469 × 65536)
    floor (27615.5)     		tx = 27615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144096374511719 × 216)
    floor (0.144096374511719 × 65536)
    floor (9443.5)     		ty = 9443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27615 / 9443 ti = "16/27615/9443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27615/9443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27615 ÷ 216
    27615 ÷ 65536     		x = 0.421371459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9443 ÷ 216
    9443 ÷ 65536     		y = 0.144088745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421371459960938 × 2 - 1) × π
    -0.157257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49403769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144088745117188 × 2 - 1) × π
    0.711822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23625636727562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49403769} λ = -0.49403769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23625636727562))-π/2
    2×atan(9.35823184574603)-π/2
    2×1.46434249166108-π/2
    2.92868498332217-1.57079632675     		φ = 1.35788866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49403769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.306275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35788866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.801289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27615 KachelY 9443 -0.49403769 1.35788866 -28.306275 77.801289
    Oben rechts KachelX + 1 27616 KachelY 9443 -0.49394181 1.35788866 -28.300781 77.801289
    Unten links KachelX 27615 KachelY + 1 9444 -0.49403769 1.35786840 -28.306275 77.800128
    Unten rechts KachelX + 1 27616 KachelY + 1 9444 -0.49394181 1.35786840 -28.300781 77.800128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35788866-1.35786840) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dl = 129.076459999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35788866-1.35786840) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dr = 129.076459999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49403769--0.49394181) × cos(1.35788866) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.21130280263986 × 6371000     		do = 129.074629720696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49403769--0.49394181) × cos(1.35786840) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.211322605138846 × 6371000     		du = 129.08672610651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35788866)-sin(1.35786840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21130280263986-0.211322605138846)×R²
    abs(-0.49394181--0.49403769)×1.98024989860324e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.98024989860324e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.98024989860324e-05×40589641000000     		ar = 16661.276960211m²