Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27609 / 8561
↖ ↑ ↗
← N 78.783831°
W 28.339233°		 ← 118.81 m → N 78.783831°
W 28.333740°		 →
↑
118.82 m
↓
↑
118.82 m
↓
N 78.782762°
W 28.339233°		 ← 118.82 m →
14 117 m²		 N 78.782762°
W 28.333740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421287536621094 y=0.130638122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421287536621094 × 216)
    floor (0.421287536621094 × 65536)
    floor (27609.5)     		tx = 27609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130638122558594 × 216)
    floor (0.130638122558594 × 65536)
    floor (8561.5)     		ty = 8561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27609 / 8561 ti = "16/27609/8561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27609/8561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27609 ÷ 216
    27609 ÷ 65536     		x = 0.421279907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8561 ÷ 216
    8561 ÷ 65536     		y = 0.130630493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421279907226562 × 2 - 1) × π
    -0.157440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49461293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130630493164062 × 2 - 1) × π
    0.738739013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3208170582054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49461293} λ = -0.49461293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3208170582054))-π/2
    2×atan(10.1839918217451)-π/2
    2×1.47291678138026-π/2
    2.94583356276051-1.57079632675     		φ = 1.37503724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49461293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.339233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37503724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.783831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27609 KachelY 8561 -0.49461293 1.37503724 -28.339233 78.783831
    Oben rechts KachelX + 1 27610 KachelY 8561 -0.49451706 1.37503724 -28.333740 78.783831
    Unten links KachelX 27609 KachelY + 1 8562 -0.49461293 1.37501859 -28.339233 78.782762
    Unten rechts KachelX + 1 27610 KachelY + 1 8562 -0.49451706 1.37501859 -28.333740 78.782762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37503724-1.37501859) × R
    1.86499999998979e-05 × 6371000     		dl = 118.81914999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37503724-1.37501859) × R
    1.86499999998979e-05 × 6371000     		dr = 118.81914999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49461293--0.49451706) × cos(1.37503724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194511179396651 × 6371000     		do = 118.805049503748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49461293--0.49451706) × cos(1.37501859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194529473153441 × 6371000     		du = 118.816223106663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37503724)-sin(1.37501859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194511179396651-0.194529473153441)×R²
    abs(-0.49451706--0.49461293)×1.82937567903829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82937567903829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82937567903829e-05×40589641000000     		ar = 14116.9788171648m²