Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27609 / 21431
↖ ↑ ↗
← N 52.726312°
W 28.339233°		 ← 369.91 m → N 52.726312°
W 28.333740°		 →
↑
369.90 m
↓
↑
369.90 m
↓
N 52.722986°
W 28.339233°		 ← 369.94 m →
136 834 m²		 N 52.722986°
W 28.333740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421287536621094 y=0.327018737792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421287536621094 × 216)
    floor (0.421287536621094 × 65536)
    floor (27609.5)     		tx = 27609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327018737792969 × 216)
    floor (0.327018737792969 × 65536)
    floor (21431.5)     		ty = 21431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27609 / 21431 ti = "16/27609/21431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27609/21431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27609 ÷ 216
    27609 ÷ 65536     		x = 0.421279907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21431 ÷ 216
    21431 ÷ 65536     		y = 0.327011108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421279907226562 × 2 - 1) × π
    -0.157440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49461293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327011108398438 × 2 - 1) × π
    0.345977783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08692126198515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49461293} λ = -0.49461293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08692126198515))-π/2
    2×atan(2.96513114347284)-π/2
    2×1.24552204062814-π/2
    2.49104408125629-1.57079632675     		φ = 0.92024775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49461293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.339233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92024775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.726312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27609 KachelY 21431 -0.49461293 0.92024775 -28.339233 52.726312
    Oben rechts KachelX + 1 27610 KachelY 21431 -0.49451706 0.92024775 -28.333740 52.726312
    Unten links KachelX 27609 KachelY + 1 21432 -0.49461293 0.92018969 -28.339233 52.722986
    Unten rechts KachelX + 1 27610 KachelY + 1 21432 -0.49451706 0.92018969 -28.333740 52.722986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92024775-0.92018969) × R
    5.80600000000819e-05 × 6371000     		dl = 369.900260000522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92024775-0.92018969) × R
    5.80600000000819e-05 × 6371000     		dr = 369.900260000522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49461293--0.49451706) × cos(0.92024775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605623027751476 × 6371000     		do = 369.907138580964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49461293--0.49451706) × cos(0.92018969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605669228073663 × 6371000     		du = 369.935357172726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92024775)-sin(0.92018969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605623027751476-0.605669228073663)×R²
    abs(-0.49451706--0.49461293)×4.62003221873841e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62003221873841e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62003221873841e-05×40589641000000     		ar = 136833.965807435m²