Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27607 / 9428
↖ ↑ ↗
← N 77.818688°
W 28.350220°		 ← 128.89 m → N 77.818688°
W 28.344726°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 77.817529°
W 28.350220°		 ← 128.91 m →
16 613 m²		 N 77.817529°
W 28.344726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421257019042969 y=0.143867492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421257019042969 × 216)
    floor (0.421257019042969 × 65536)
    floor (27607.5)     		tx = 27607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143867492675781 × 216)
    floor (0.143867492675781 × 65536)
    floor (9428.5)     		ty = 9428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27607 / 9428 ti = "16/27607/9428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27607/9428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27607 ÷ 216
    27607 ÷ 65536     		x = 0.421249389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9428 ÷ 216
    9428 ÷ 65536     		y = 0.14385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421249389648438 × 2 - 1) × π
    -0.157501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49480468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14385986328125 × 2 - 1) × π
    0.7122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23769447426422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49480468} λ = -0.49480468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23769447426422))-π/2
    2×atan(9.37169966612653)-π/2
    2×1.46449432294507-π/2
    2.92898864589013-1.57079632675     		φ = 1.35819232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49480468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.350220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35819232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.818688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27607 KachelY 9428 -0.49480468 1.35819232 -28.350220 77.818688
    Oben rechts KachelX + 1 27608 KachelY 9428 -0.49470880 1.35819232 -28.344726 77.818688
    Unten links KachelX 27607 KachelY + 1 9429 -0.49480468 1.35817209 -28.350220 77.817529
    Unten rechts KachelX + 1 27608 KachelY + 1 9429 -0.49470880 1.35817209 -28.344726 77.817529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35819232-1.35817209) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dl = 128.885329999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35819232-1.35817209) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dr = 128.885329999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49480468--0.49470880) × cos(1.35819232) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.211005989348016 × 6371000     		do = 128.89332088209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49480468--0.49470880) × cos(1.35817209) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.211025763821702 × 6371000     		du = 128.905400148607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35819232)-sin(1.35817209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211005989348016-0.211025763821702)×R²
    abs(-0.49470880--0.49480468)×1.97744736858685e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.97744736858685e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.97744736858685e-05×40589641000000     		ar = 16613.236617274m²