Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27606 / 9439
↖ ↑ ↗
← N 77.805931°
W 28.355713°		 ← 129.01 m → N 77.805931°
W 28.350220°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
N 77.804771°
W 28.355713°		 ← 129.02 m →
16 645 m²		 N 77.804771°
W 28.350220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421241760253906 y=0.144035339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421241760253906 × 216)
    floor (0.421241760253906 × 65536)
    floor (27606.5)     		tx = 27606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144035339355469 × 216)
    floor (0.144035339355469 × 65536)
    floor (9439.5)     		ty = 9439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27606 / 9439 ti = "16/27606/9439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27606/9439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27606 ÷ 216
    27606 ÷ 65536     		x = 0.421234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9439 ÷ 216
    9439 ÷ 65536     		y = 0.144027709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.15753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49490055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144027709960938 × 2 - 1) × π
    0.711944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23663986247258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49490055} λ = -0.49490055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23663986247258))-π/2
    2×atan(9.36182137094975)-π/2
    2×1.46438300087402-π/2
    2.92876600174803-1.57079632675     		φ = 1.35796967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49490055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.355713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35796967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.805931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27606 KachelY 9439 -0.49490055 1.35796967 -28.355713 77.805931
    Oben rechts KachelX + 1 27607 KachelY 9439 -0.49480468 1.35796967 -28.350220 77.805931
    Unten links KachelX 27606 KachelY + 1 9440 -0.49490055 1.35794942 -28.355713 77.804771
    Unten rechts KachelX + 1 27607 KachelY + 1 9440 -0.49480468 1.35794942 -28.350220 77.804771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35796967-1.35794942) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35796967-1.35794942) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49490055--0.49480468) × cos(1.35796967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2112236210998 × 6371000     		do = 129.012804502869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49490055--0.49480468) × cos(1.35794942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211243414171206 × 6371000     		du = 129.024893868814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35796967)-sin(1.35794942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2112236210998-0.211243414171206)×R²
    abs(-0.49480468--0.49490055)×1.97930714058991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97930714058991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97930714058991e-05×40589641000000     		ar = 16645.0765361163m²