Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27605 / 8498
↖ ↑ ↗
← N 78.850946°
W 28.361206°		 ← 118.12 m → N 78.850946°
W 28.355713°		 →
↑
118.12 m
↓
↑
118.12 m
↓
N 78.849883°
W 28.361206°		 ← 118.13 m →
13 952 m²		 N 78.849883°
W 28.355713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421226501464844 y=0.129676818847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421226501464844 × 216)
    floor (0.421226501464844 × 65536)
    floor (27605.5)     		tx = 27605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129676818847656 × 216)
    floor (0.129676818847656 × 65536)
    floor (8498.5)     		ty = 8498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27605 / 8498 ti = "16/27605/8498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27605/8498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27605 ÷ 216
    27605 ÷ 65536     		x = 0.421218872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8498 ÷ 216
    8498 ÷ 65536     		y = 0.129669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421218872070312 × 2 - 1) × π
    -0.157562255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49499643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129669189453125 × 2 - 1) × π
    0.74066162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32685710755753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49499643} λ = -0.49499643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32685710755753))-π/2
    2×atan(10.2456897767236)-π/2
    2×1.47350247308618-π/2
    2.94700494617237-1.57079632675     		φ = 1.37620862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49499643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.361206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37620862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.850946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27605 KachelY 8498 -0.49499643 1.37620862 -28.361206 78.850946
    Oben rechts KachelX + 1 27606 KachelY 8498 -0.49490055 1.37620862 -28.355713 78.850946
    Unten links KachelX 27605 KachelY + 1 8499 -0.49499643 1.37619008 -28.361206 78.849883
    Unten rechts KachelX + 1 27606 KachelY + 1 8499 -0.49490055 1.37619008 -28.355713 78.849883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37620862-1.37619008) × R
    1.85400000001223e-05 × 6371000     		dl = 118.118340000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37620862-1.37619008) × R
    1.85400000001223e-05 × 6371000     		dr = 118.118340000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49499643--0.49490055) × cos(1.37620862) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.193362039217075 × 6371000     		do = 118.115487831559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49499643--0.49490055) × cos(1.37619008) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.193380229287224 × 6371000     		du = 118.126599262831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37620862)-sin(1.37619008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193362039217075-0.193380229287224)×R²
    abs(-0.49490055--0.49499643)×1.81900701493876e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.81900701493876e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.81900701493876e-05×40589641000000     		ar = 13952.2615835304m²