Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27604 / 9142
↖ ↑ ↗
← N 78.145782°
W 28.366699°		 ← 125.47 m → N 78.145782°
W 28.361206°		 →
↑
125.44 m
↓
↑
125.44 m
↓
N 78.144654°
W 28.366699°		 ← 125.48 m →
15 740 m²		 N 78.144654°
W 28.361206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421211242675781 y=0.139503479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421211242675781 × 216)
    floor (0.421211242675781 × 65536)
    floor (27604.5)     		tx = 27604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139503479003906 × 216)
    floor (0.139503479003906 × 65536)
    floor (9142.5)     		ty = 9142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27604 / 9142 ti = "16/27604/9142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27604/9142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27604 ÷ 216
    27604 ÷ 65536     		x = 0.42120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9142 ÷ 216
    9142 ÷ 65536     		y = 0.139495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.1575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49509230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139495849609375 × 2 - 1) × π
    0.72100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26511438084689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49509230} λ = -0.49509230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26511438084689))-π/2
    2×atan(9.63222628030299)-π/2
    2×1.46734876536264-π/2
    2.93469753072528-1.57079632675     		φ = 1.36390120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49509230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.366699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36390120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.145782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27604 KachelY 9142 -0.49509230 1.36390120 -28.366699 78.145782
    Oben rechts KachelX + 1 27605 KachelY 9142 -0.49499643 1.36390120 -28.361206 78.145782
    Unten links KachelX 27604 KachelY + 1 9143 -0.49509230 1.36388151 -28.366699 78.144654
    Unten rechts KachelX + 1 27605 KachelY + 1 9143 -0.49499643 1.36388151 -28.361206 78.144654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36390120-1.36388151) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dl = 125.444990000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36390120-1.36388151) × R
    1.96900000000166e-05 × 6371000     		dr = 125.444990000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49509230--0.49499643) × cos(1.36390120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205422237943554 × 6371000     		do = 125.46939062195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49509230--0.49499643) × cos(1.36388151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.205441507983786 × 6371000     		du = 125.481160526851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36390120)-sin(1.36388151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205422237943554-0.205441507983786)×R²
    abs(-0.49499643--0.49509230)×1.92700402317503e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92700402317503e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92700402317503e-05×40589641000000     		ar = 15740.244690058m²