Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 276 / 549
↖ ↑ ↗
← N 63.782486°
W131.484375°		 ← 8 635.02 m → N 63.782486°
W131.308594°		 →
↑
8 646.91 m
↓
↑
8 646.91 m
↓
N 63.704723°
W131.484375°		 ← 8 658.81 m →
74 769 150 m²		 N 63.704723°
W131.308594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135009765625 y=0.268310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135009765625 × 211)
    floor (0.135009765625 × 2048)
    floor (276.5)     		tx = 276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268310546875 × 211)
    floor (0.268310546875 × 2048)
    floor (549.5)     		ty = 549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 276 / 549 ti = "11/276/549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/276/549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 276 ÷ 211
    276 ÷ 2048     		x = 0.134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 549 ÷ 211
    549 ÷ 2048     		y = 0.26806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134765625 × 2 - 1) × π
    -0.73046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29483526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26806640625 × 2 - 1) × π
    0.4638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29483526} λ = -2.29483526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45728174844971))-π/2
    2×atan(4.29427074091133)-π/2
    2×1.34200535656381-π/2
    2.68401071312762-1.57079632675     		φ = 1.11321439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29483526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11321439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.782486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 276 KachelY 549 -2.29483526 1.11321439 -131.484375 63.782486
    Oben rechts KachelX + 1 277 KachelY 549 -2.29176730 1.11321439 -131.308594 63.782486
    Unten links KachelX 276 KachelY + 1 550 -2.29483526 1.11185716 -131.484375 63.704723
    Unten rechts KachelX + 1 277 KachelY + 1 550 -2.29176730 1.11185716 -131.308594 63.704723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11321439-1.11185716) × R
    0.00135722999999999 × 6371000     		dl = 8646.91232999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11321439-1.11185716) × R
    0.00135722999999999 × 6371000     		dr = 8646.91232999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29483526--2.29176730) × cos(1.11321439) × R
    0.00306796000000009 × 0.44178009961464 × 6371000     		do = 8635.02196969014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29483526--2.29176730) × cos(1.11185716) × R
    0.00306796000000009 × 0.442997295098646 × 6371000     		du = 8658.813239951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11321439)-sin(1.11185716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44178009961464-0.442997295098646)×R²
    abs(-2.29176730--2.29483526)×0.00121719548400651×R²
    0.00306796000000009×0.00121719548400651×6371000²
    0.00306796000000009×0.00121719548400651×40589641000000     		ar = 74769149.9311371m²