Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 276 / 361
↖ ↑ ↗
← N 75.095633°
W131.484375°		 ← 5 027.35 m → N 75.095633°
W131.308594°		 →
↑
5 034.87 m
↓
↑
5 034.87 m
↓
N 75.050353°
W131.484375°		 ← 5 042.28 m →
25 349 650 m²		 N 75.050353°
W131.308594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135009765625 y=0.176513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135009765625 × 211)
    floor (0.135009765625 × 2048)
    floor (276.5)     		tx = 276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176513671875 × 211)
    floor (0.176513671875 × 2048)
    floor (361.5)     		ty = 361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 276 / 361 ti = "11/276/361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/276/361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 276 ÷ 211
    276 ÷ 2048     		x = 0.134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 361 ÷ 211
    361 ÷ 2048     		y = 0.17626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134765625 × 2 - 1) × π
    -0.73046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29483526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17626953125 × 2 - 1) × π
    0.6474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03405852467822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29483526} λ = -2.29483526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03405852467822))-π/2
    2×atan(7.64505110926791)-π/2
    2×1.44073118588072-π/2
    2.88146237176145-1.57079632675     		φ = 1.31066605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29483526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31066605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.095633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 276 KachelY 361 -2.29483526 1.31066605 -131.484375 75.095633
    Oben rechts KachelX + 1 277 KachelY 361 -2.29176730 1.31066605 -131.308594 75.095633
    Unten links KachelX 276 KachelY + 1 362 -2.29483526 1.30987577 -131.484375 75.050353
    Unten rechts KachelX + 1 277 KachelY + 1 362 -2.29176730 1.30987577 -131.308594 75.050353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31066605-1.30987577) × R
    0.000790279999999921 × 6371000     		dl = 5034.8738799995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31066605-1.30987577) × R
    0.000790279999999921 × 6371000     		dr = 5034.8738799995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29483526--2.29176730) × cos(1.31066605) × R
    0.00306796000000009 × 0.257206447899179 × 6371000     		do = 5027.35032721645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29483526--2.29176730) × cos(1.30987577) × R
    0.00306796000000009 × 0.257970059699188 × 6371000     		du = 5042.27586296408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31066605)-sin(1.30987577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257206447899179-0.257970059699188)×R²
    abs(-2.29176730--2.29483526)×0.000763611800008501×R²
    0.00306796000000009×0.000763611800008501×6371000²
    0.00306796000000009×0.000763611800008501×40589641000000     		ar = 25349650.2624706m²