Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 276 / 12
↖ ↑ ↗
← N 84.673512°
W 82.968750°		 ← 3 628.94 m → N 84.673512°
W 82.617187°		 →
↑
3 640.01 m
↓
↑
3 640.01 m
↓
N 84.640777°
W 82.968750°		 ← 3 651.18 m →
13 249 842 m²		 N 84.640777°
W 82.617187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27001953125 y=0.01220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27001953125 × 210)
    floor (0.27001953125 × 1024)
    floor (276.5)     		tx = 276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.01220703125 × 210)
    floor (0.01220703125 × 1024)
    floor (12.5)     		ty = 12
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 276 / 12 ti = "10/276/12"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/276/12.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 276 ÷ 210
    276 ÷ 1024     		x = 0.26953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12 ÷ 210
    12 ÷ 1024     		y = 0.01171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26953125 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44807786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.01171875 × 2 - 1) × π
    0.9765625 × 3.1415926535     		Φ = 3.06796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44807786} λ = -1.44807786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.06796157568359))-π/2
    2×atan(21.4980358615472)-π/2
    2×1.52431395514704-π/2
    3.04862791029409-1.57079632675     		φ = 1.47783158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44807786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47783158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.673512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 276 KachelY 12 -1.44807786 1.47783158 -82.968750 84.673512
    Oben rechts KachelX + 1 277 KachelY 12 -1.44194194 1.47783158 -82.617187 84.673512
    Unten links KachelX 276 KachelY + 1 13 -1.44807786 1.47726024 -82.968750 84.640777
    Unten rechts KachelX + 1 277 KachelY + 1 13 -1.44194194 1.47726024 -82.617187 84.640777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47783158-1.47726024) × R
    0.000571340000000031 × 6371000     		dl = 3640.0071400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47783158-1.47726024) × R
    0.000571340000000031 × 6371000     		dr = 3640.0071400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44807786--1.44194194) × cos(1.47783158) × R
    0.00613591999999996 × 0.0928308975419283 × 6371000     		do = 3628.94046354646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44807786--1.44194194) × cos(1.47726024) × R
    0.00613591999999996 × 0.0933997552501823 × 6371000     		du = 3651.17821854124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47783158)-sin(1.47726024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0928308975419283-0.0933997552501823)×R²
    abs(-1.44194194--1.44807786)×0.000568857708254059×R²
    0.00613591999999996×0.000568857708254059×6371000²
    0.00613591999999996×0.000568857708254059×40589641000000     		ar = 13249842.3518455m²