Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27597 / 8492
↖ ↑ ↗
← N 78.857317°
W 28.405152°		 ← 118.05 m → N 78.857317°
W 28.399658°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
N 78.856255°
W 28.405152°		 ← 118.06 m →
13 937 m²		 N 78.856255°
W 28.399658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421104431152344 y=0.129585266113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421104431152344 × 216)
    floor (0.421104431152344 × 65536)
    floor (27597.5)     		tx = 27597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129585266113281 × 216)
    floor (0.129585266113281 × 65536)
    floor (8492.5)     		ty = 8492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27597 / 8492 ti = "16/27597/8492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27597/8492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27597 ÷ 216
    27597 ÷ 65536     		x = 0.421096801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8492 ÷ 216
    8492 ÷ 65536     		y = 0.12957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421096801757812 × 2 - 1) × π
    -0.157806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49576342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12957763671875 × 2 - 1) × π
    0.7408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32743235035297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49576342} λ = -0.49576342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32743235035297))-π/2
    2×atan(10.2515852314483)-π/2
    2×1.47355807245499-π/2
    2.94711614490998-1.57079632675     		φ = 1.37631982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49576342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.405152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37631982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.857317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27597 KachelY 8492 -0.49576342 1.37631982 -28.405152 78.857317
    Oben rechts KachelX + 1 27598 KachelY 8492 -0.49566754 1.37631982 -28.399658 78.857317
    Unten links KachelX 27597 KachelY + 1 8493 -0.49576342 1.37630129 -28.405152 78.856255
    Unten rechts KachelX + 1 27598 KachelY + 1 8493 -0.49566754 1.37630129 -28.399658 78.856255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37631982-1.37630129) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37631982-1.37630129) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49576342--0.49566754) × cos(1.37631982) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.1932529366466 × 6371000     		do = 118.048842364913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49576342--0.49566754) × cos(1.37630129) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.193271117303846 × 6371000     		du = 118.059948046299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37631982)-sin(1.37630129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1932529366466-0.193271117303846)×R²
    abs(-0.49566754--0.49576342)×1.81806572460974e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.81806572460974e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.81806572460974e-05×40589641000000     		ar = 13936.8679461446m²