Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27596 / 8698
↖ ↑ ↗
← N 78.636501°
W 28.410645°		 ← 120.35 m → N 78.636501°
W 28.405152°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
N 78.635419°
W 28.410645°		 ← 120.36 m →
14 484 m²		 N 78.635419°
W 28.405152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421089172363281 y=0.132728576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421089172363281 × 216)
    floor (0.421089172363281 × 65536)
    floor (27596.5)     		tx = 27596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132728576660156 × 216)
    floor (0.132728576660156 × 65536)
    floor (8698.5)     		ty = 8698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27596 / 8698 ti = "16/27596/8698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27596/8698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27596 ÷ 216
    27596 ÷ 65536     		x = 0.42108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8698 ÷ 216
    8698 ÷ 65536     		y = 0.132720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.1578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49585929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132720947265625 × 2 - 1) × π
    0.73455810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3076823477095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49585929} λ = -0.49585929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3076823477095))-π/2
    2×atan(10.0511026781925)-π/2
    2×1.47163109423254-π/2
    2.94326218846508-1.57079632675     		φ = 1.37246586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49585929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.410645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37246586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.636501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27596 KachelY 8698 -0.49585929 1.37246586 -28.410645 78.636501
    Oben rechts KachelX + 1 27597 KachelY 8698 -0.49576342 1.37246586 -28.405152 78.636501
    Unten links KachelX 27596 KachelY + 1 8699 -0.49585929 1.37244697 -28.410645 78.635419
    Unten rechts KachelX + 1 27597 KachelY + 1 8699 -0.49576342 1.37244697 -28.405152 78.635419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37246586-1.37244697) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37246586-1.37244697) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49585929--0.49576342) × cos(1.37246586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197032800980743 × 6371000     		do = 120.345225127879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49585929--0.49576342) × cos(1.37244697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197051320642969 × 6371000     		du = 120.356536711071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37246586)-sin(1.37244697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197032800980743-0.197051320642969)×R²
    abs(-0.49576342--0.49585929)×1.8519662226435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8519662226435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8519662226435e-05×40589641000000     		ar = 14484.0106838738m²