Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27596 / 8692
↖ ↑ ↗
← N 78.642993°
W 28.410645°		 ← 120.28 m → N 78.642993°
W 28.405152°		 →
↑
120.28 m
↓
↑
120.28 m
↓
N 78.641912°
W 28.410645°		 ← 120.29 m →
14 468 m²		 N 78.641912°
W 28.405152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421089172363281 y=0.132637023925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421089172363281 × 216)
    floor (0.421089172363281 × 65536)
    floor (27596.5)     		tx = 27596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132637023925781 × 216)
    floor (0.132637023925781 × 65536)
    floor (8692.5)     		ty = 8692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27596 / 8692 ti = "16/27596/8692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27596/8692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27596 ÷ 216
    27596 ÷ 65536     		x = 0.42108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8692 ÷ 216
    8692 ÷ 65536     		y = 0.13262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.1578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49585929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13262939453125 × 2 - 1) × π
    0.7347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30825759050494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49585929} λ = -0.49585929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30825759050494))-π/2
    2×atan(10.0568861658897)-π/2
    2×1.47168774910434-π/2
    2.94337549820869-1.57079632675     		φ = 1.37257917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49585929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.410645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37257917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.642993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27596 KachelY 8692 -0.49585929 1.37257917 -28.410645 78.642993
    Oben rechts KachelX + 1 27597 KachelY 8692 -0.49576342 1.37257917 -28.405152 78.642993
    Unten links KachelX 27596 KachelY + 1 8693 -0.49585929 1.37256029 -28.410645 78.641912
    Unten rechts KachelX + 1 27597 KachelY + 1 8693 -0.49576342 1.37256029 -28.405152 78.641912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37257917-1.37256029) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dl = 120.284480000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37257917-1.37256029) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dr = 120.284480000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49585929--0.49576342) × cos(1.37257917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196921710943732 × 6371000     		do = 120.277372691904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49585929--0.49576342) × cos(1.37256029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196940221223438 × 6371000     		du = 120.288678544368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37257917)-sin(1.37256029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196921710943732-0.196940221223438)×R²
    abs(-0.49576342--0.49585929)×1.85102797065351e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85102797065351e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85102797065351e-05×40589641000000     		ar = 14468.1811893849m²