Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27595 / 8691
↖ ↑ ↗
← N 78.644075°
W 28.416137°		 ← 120.27 m → N 78.644075°
W 28.410645°		 →
↑
120.28 m
↓
↑
120.28 m
↓
N 78.642993°
W 28.416137°		 ← 120.28 m →
14 467 m²		 N 78.642993°
W 28.410645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421073913574219 y=0.132621765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421073913574219 × 216)
    floor (0.421073913574219 × 65536)
    floor (27595.5)     		tx = 27595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132621765136719 × 216)
    floor (0.132621765136719 × 65536)
    floor (8691.5)     		ty = 8691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27595 / 8691 ti = "16/27595/8691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27595/8691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27595 ÷ 216
    27595 ÷ 65536     		x = 0.421066284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8691 ÷ 216
    8691 ÷ 65536     		y = 0.132614135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421066284179688 × 2 - 1) × π
    -0.157867431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49595516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132614135742188 × 2 - 1) × π
    0.734771728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30835346430418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49595516} λ = -0.49595516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30835346430418))-π/2
    2×atan(10.0578504039968)-π/2
    2×1.47169718847692-π/2
    2.94339437695385-1.57079632675     		φ = 1.37259805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49595516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.416137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37259805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.644075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27595 KachelY 8691 -0.49595516 1.37259805 -28.416137 78.644075
    Oben rechts KachelX + 1 27596 KachelY 8691 -0.49585929 1.37259805 -28.410645 78.644075
    Unten links KachelX 27595 KachelY + 1 8692 -0.49595516 1.37257917 -28.416137 78.642993
    Unten rechts KachelX + 1 27596 KachelY + 1 8692 -0.49585929 1.37257917 -28.410645 78.642993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37259805-1.37257917) × R
    1.88799999998324e-05 × 6371000     		dl = 120.284479998932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37259805-1.37257917) × R
    1.88799999998324e-05 × 6371000     		dr = 120.284479998932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49595516--0.49585929) × cos(1.37259805) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196903200593832 × 6371000     		do = 120.266066796566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49595516--0.49585929) × cos(1.37257917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196921710943732 × 6371000     		du = 120.277372691904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37259805)-sin(1.37257917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196903200593832-0.196921710943732)×R²
    abs(-0.49585929--0.49595516)×1.85103498999695e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85103498999695e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85103498999695e-05×40589641000000     		ar = 14466.8212685022m²