Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27595 / 8493
↖ ↑ ↗
← N 78.856255°
W 28.416137°		 ← 118.05 m → N 78.856255°
W 28.410645°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
N 78.855194°
W 28.416137°		 ← 118.06 m →
13 937 m²		 N 78.855194°
W 28.410645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421073913574219 y=0.129600524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421073913574219 × 216)
    floor (0.421073913574219 × 65536)
    floor (27595.5)     		tx = 27595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129600524902344 × 216)
    floor (0.129600524902344 × 65536)
    floor (8493.5)     		ty = 8493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27595 / 8493 ti = "16/27595/8493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27595/8493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27595 ÷ 216
    27595 ÷ 65536     		x = 0.421066284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8493 ÷ 216
    8493 ÷ 65536     		y = 0.129592895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421066284179688 × 2 - 1) × π
    -0.157867431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49595516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129592895507812 × 2 - 1) × π
    0.740814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32733647655373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49595516} λ = -0.49595516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32733647655373))-π/2
    2×atan(10.2506024201377)-π/2
    2×1.47354880807255-π/2
    2.9470976161451-1.57079632675     		φ = 1.37630129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49595516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.416137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37630129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.856255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27595 KachelY 8493 -0.49595516 1.37630129 -28.416137 78.856255
    Oben rechts KachelX + 1 27596 KachelY 8493 -0.49585929 1.37630129 -28.410645 78.856255
    Unten links KachelX 27595 KachelY + 1 8494 -0.49595516 1.37628276 -28.416137 78.855194
    Unten rechts KachelX + 1 27596 KachelY + 1 8494 -0.49585929 1.37628276 -28.410645 78.855194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37630129-1.37628276) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37630129-1.37628276) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49595516--0.49585929) × cos(1.37630129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193271117303846 × 6371000     		do = 118.047634743422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49595516--0.49585929) × cos(1.37628276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19328929789473 × 6371000     		du = 118.058739225985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37630129)-sin(1.37628276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193271117303846-0.19328929789473)×R²
    abs(-0.49585929--0.49595516)×1.8180590884348e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8180590884348e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8180590884348e-05×40589641000000     		ar = 13936.7253100685m²