Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27593 / 21465
↖ ↑ ↗
← N 52.613055°
W 28.427124°		 ← 370.87 m → N 52.613055°
W 28.421631°		 →
↑
370.92 m
↓
↑
370.92 m
↓
N 52.609719°
W 28.427124°		 ← 370.90 m →
137 567 m²		 N 52.609719°
W 28.421631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421043395996094 y=0.327537536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421043395996094 × 216)
    floor (0.421043395996094 × 65536)
    floor (27593.5)     		tx = 27593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327537536621094 × 216)
    floor (0.327537536621094 × 65536)
    floor (21465.5)     		ty = 21465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27593 / 21465 ti = "16/27593/21465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27593/21465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27593 ÷ 216
    27593 ÷ 65536     		x = 0.421035766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21465 ÷ 216
    21465 ÷ 65536     		y = 0.327529907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421035766601562 × 2 - 1) × π
    -0.157928466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49614691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327529907226562 × 2 - 1) × π
    0.344940185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08366155281099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49614691} λ = -0.49614691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08366155281099))-π/2
    2×atan(2.95548141448152)-π/2
    2×1.24453368250018-π/2
    2.48906736500036-1.57079632675     		φ = 0.91827104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49614691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.427124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91827104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.613055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27593 KachelY 21465 -0.49614691 0.91827104 -28.427124 52.613055
    Oben rechts KachelX + 1 27594 KachelY 21465 -0.49605104 0.91827104 -28.421631 52.613055
    Unten links KachelX 27593 KachelY + 1 21466 -0.49614691 0.91821282 -28.427124 52.609719
    Unten rechts KachelX + 1 27594 KachelY + 1 21466 -0.49605104 0.91821282 -28.421631 52.609719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91827104-0.91821282) × R
    5.82199999999977e-05 × 6371000     		dl = 370.919619999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91827104-0.91821282) × R
    5.82199999999977e-05 × 6371000     		dr = 370.919619999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49614691--0.49605104) × cos(0.91827104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607194813845428 × 6371000     		do = 370.867166304206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49614691--0.49605104) × cos(0.91821282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607241071691566 × 6371000     		du = 370.895420030894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91827104)-sin(0.91821282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607194813845428-0.607241071691566)×R²
    abs(-0.49605104--0.49614691)×4.62578461384311e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62578461384311e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62578461384311e-05×40589641000000     		ar = 137567.148365529m²