Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27592 / 8695
↖ ↑ ↗
← N 78.639748°
W 28.432617°		 ← 120.31 m → N 78.639748°
W 28.427124°		 →
↑
120.28 m
↓
↑
120.28 m
↓
N 78.638666°
W 28.432617°		 ← 120.32 m →
14 472 m²		 N 78.638666°
W 28.427124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421028137207031 y=0.132682800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421028137207031 × 216)
    floor (0.421028137207031 × 65536)
    floor (27592.5)     		tx = 27592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132682800292969 × 216)
    floor (0.132682800292969 × 65536)
    floor (8695.5)     		ty = 8695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27592 / 8695 ti = "16/27592/8695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27592/8695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27592 ÷ 216
    27592 ÷ 65536     		x = 0.4210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8695 ÷ 216
    8695 ÷ 65536     		y = 0.132675170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.157958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49624278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132675170898438 × 2 - 1) × π
    0.734649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30796996910722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49624278} λ = -0.49624278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30796996910722))-π/2
    2×atan(10.0539940061774)-π/2
    2×1.47165942566242-π/2
    2.94331885132483-1.57079632675     		φ = 1.37252252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49624278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.432617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37252252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.639748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27592 KachelY 8695 -0.49624278 1.37252252 -28.432617 78.639748
    Oben rechts KachelX + 1 27593 KachelY 8695 -0.49614691 1.37252252 -28.427124 78.639748
    Unten links KachelX 27592 KachelY + 1 8696 -0.49624278 1.37250364 -28.432617 78.638666
    Unten rechts KachelX + 1 27593 KachelY + 1 8696 -0.49614691 1.37250364 -28.427124 78.638666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37252252-1.37250364) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dl = 120.284480000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37252252-1.37250364) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dr = 120.284480000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49624278--0.49614691) × cos(1.37252252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196977251376324 × 6371000     		do = 120.311296108872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49624278--0.49614691) × cos(1.37250364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196995761445373 × 6371000     		du = 120.322601832669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37252252)-sin(1.37250364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196977251376324-0.196995761445373)×R²
    abs(-0.49614691--0.49624278)×1.85100690489604e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85100690489604e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85100690489604e-05×40589641000000     		ar = 14472.2616428398m²