Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27592 / 21464
↖ ↑ ↗
← N 52.616390°
W 28.432617°		 ← 370.84 m → N 52.616390°
W 28.427124°		 →
↑
370.86 m
↓
↑
370.86 m
↓
N 52.613055°
W 28.432617°		 ← 370.87 m →
137 533 m²		 N 52.613055°
W 28.427124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421028137207031 y=0.327522277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421028137207031 × 216)
    floor (0.421028137207031 × 65536)
    floor (27592.5)     		tx = 27592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327522277832031 × 216)
    floor (0.327522277832031 × 65536)
    floor (21464.5)     		ty = 21464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27592 / 21464 ti = "16/27592/21464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27592/21464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27592 ÷ 216
    27592 ÷ 65536     		x = 0.4210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21464 ÷ 216
    21464 ÷ 65536     		y = 0.3275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.157958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49624278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3275146484375 × 2 - 1) × π
    0.344970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08375742661023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49624278} λ = -0.49624278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08375742661023))-π/2
    2×atan(2.95576478129682)-π/2
    2×1.24456278842846-π/2
    2.48912557685692-1.57079632675     		φ = 0.91832925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49624278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.432617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91832925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.616390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27592 KachelY 21464 -0.49624278 0.91832925 -28.432617 52.616390
    Oben rechts KachelX + 1 27593 KachelY 21464 -0.49614691 0.91832925 -28.427124 52.616390
    Unten links KachelX 27592 KachelY + 1 21465 -0.49624278 0.91827104 -28.432617 52.613055
    Unten rechts KachelX + 1 27593 KachelY + 1 21465 -0.49614691 0.91827104 -28.427124 52.613055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91832925-0.91827104) × R
    5.82099999999475e-05 × 6371000     		dl = 370.855909999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91832925-0.91827104) × R
    5.82099999999475e-05 × 6371000     		dr = 370.855909999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49624278--0.49614691) × cos(0.91832925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607148561887045 × 6371000     		do = 370.838916173687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49624278--0.49614691) × cos(0.91827104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607194813845428 × 6371000     		du = 370.867166304206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91832925)-sin(0.91827104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607148561887045-0.607194813845428)×R²
    abs(-0.49614691--0.49624278)×4.62519583833698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62519583833698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62519583833698e-05×40589641000000     		ar = 137533.042123969m²