Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27591 / 8486
↖ ↑ ↗
← N 78.863684°
W 28.438110°		 ← 117.98 m → N 78.863684°
W 28.432617°		 →
↑
117.93 m
↓
↑
117.93 m
↓
N 78.862624°
W 28.438110°		 ← 117.99 m →
13 914 m²		 N 78.862624°
W 28.432617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421012878417969 y=0.129493713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421012878417969 × 216)
    floor (0.421012878417969 × 65536)
    floor (27591.5)     		tx = 27591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129493713378906 × 216)
    floor (0.129493713378906 × 65536)
    floor (8486.5)     		ty = 8486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27591 / 8486 ti = "16/27591/8486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27591/8486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27591 ÷ 216
    27591 ÷ 65536     		x = 0.421005249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8486 ÷ 216
    8486 ÷ 65536     		y = 0.129486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421005249023438 × 2 - 1) × π
    -0.157989501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49633866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129486083984375 × 2 - 1) × π
    0.74102783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32800759314841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49633866} λ = -0.49633866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32800759314841))-π/2
    2×atan(10.2574840784665)-π/2
    2×1.47361364045243-π/2
    2.94722728090485-1.57079632675     		φ = 1.37643095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49633866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.438110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37643095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.863684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27591 KachelY 8486 -0.49633866 1.37643095 -28.438110 78.863684
    Oben rechts KachelX + 1 27592 KachelY 8486 -0.49624278 1.37643095 -28.432617 78.863684
    Unten links KachelX 27591 KachelY + 1 8487 -0.49633866 1.37641244 -28.438110 78.862624
    Unten rechts KachelX + 1 27592 KachelY + 1 8487 -0.49624278 1.37641244 -28.432617 78.862624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37643095-1.37641244) × R
    1.85100000000826e-05 × 6371000     		dl = 117.927210000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37643095-1.37641244) × R
    1.85100000000826e-05 × 6371000     		dr = 117.927210000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49633866--0.49624278) × cos(1.37643095) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.193143900368398 × 6371000     		do = 117.982237392999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49633866--0.49624278) × cos(1.37641244) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.193162061800167 × 6371000     		du = 117.993331330475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37643095)-sin(1.37641244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193143900368398-0.193162061800167)×R²
    abs(-0.49624278--0.49633866)×1.8161431769359e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.8161431769359e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.8161431769359e-05×40589641000000     		ar = 13913.9702241077m²