Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27591 / 7227
↖ ↑ ↗
← N 80.123276°
W 28.438110°		 ← 104.78 m → N 80.123276°
W 28.432617°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
N 80.122334°
W 28.438110°		 ← 104.79 m →
10 982 m²		 N 80.122334°
W 28.432617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421012878417969 y=0.110282897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421012878417969 × 216)
    floor (0.421012878417969 × 65536)
    floor (27591.5)     		tx = 27591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110282897949219 × 216)
    floor (0.110282897949219 × 65536)
    floor (7227.5)     		ty = 7227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27591 / 7227 ti = "16/27591/7227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27591/7227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27591 ÷ 216
    27591 ÷ 65536     		x = 0.421005249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7227 ÷ 216
    7227 ÷ 65536     		y = 0.110275268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421005249023438 × 2 - 1) × π
    -0.157989501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49633866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110275268554688 × 2 - 1) × π
    0.779449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44871270639171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49633866} λ = -0.49633866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44871270639171))-π/2
    2×atan(11.5734387121109)-π/2
    2×1.48460565174434-π/2
    2.96921130348868-1.57079632675     		φ = 1.39841498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49633866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.438110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39841498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.123276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27591 KachelY 7227 -0.49633866 1.39841498 -28.438110 80.123276
    Oben rechts KachelX + 1 27592 KachelY 7227 -0.49624278 1.39841498 -28.432617 80.123276
    Unten links KachelX 27591 KachelY + 1 7228 -0.49633866 1.39839853 -28.438110 80.122334
    Unten rechts KachelX + 1 27592 KachelY + 1 7228 -0.49624278 1.39839853 -28.432617 80.122334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39841498-1.39839853) × R
    1.64500000001677e-05 × 6371000     		dl = 104.802950001069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39841498-1.39839853) × R
    1.64500000001677e-05 × 6371000     		dr = 104.802950001069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49633866--0.49624278) × cos(1.39841498) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.171528886274057 × 6371000     		do = 104.778674043251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49633866--0.49624278) × cos(1.39839853) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.171545092446893 × 6371000     		du = 104.788573607914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39841498)-sin(1.39839853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171528886274057-0.171545092446893)×R²
    abs(-0.49624278--0.49633866)×1.62061728368745e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.62061728368745e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.62061728368745e-05×40589641000000     		ar = 10981.6328890958m²