Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27591 / 21472
↖ ↑ ↗
← N 52.589701°
W 28.438110°		 ← 371.10 m → N 52.589701°
W 28.432617°		 →
↑
371.11 m
↓
↑
371.11 m
↓
N 52.586363°
W 28.438110°		 ← 371.13 m →
137 726 m²		 N 52.586363°
W 28.432617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421012878417969 y=0.327644348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421012878417969 × 216)
    floor (0.421012878417969 × 65536)
    floor (27591.5)     		tx = 27591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327644348144531 × 216)
    floor (0.327644348144531 × 65536)
    floor (21472.5)     		ty = 21472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27591 / 21472 ti = "16/27591/21472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27591/21472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27591 ÷ 216
    27591 ÷ 65536     		x = 0.421005249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21472 ÷ 216
    21472 ÷ 65536     		y = 0.32763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421005249023438 × 2 - 1) × π
    -0.157989501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49633866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32763671875 × 2 - 1) × π
    0.3447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08299043621631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49633866} λ = -0.49633866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08299043621631))-π/2
    2×atan(2.95349860728082)-π/2
    2×1.2443298789144-π/2
    2.48865975782881-1.57079632675     		φ = 0.91786343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49633866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.438110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91786343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.589701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27591 KachelY 21472 -0.49633866 0.91786343 -28.438110 52.589701
    Oben rechts KachelX + 1 27592 KachelY 21472 -0.49624278 0.91786343 -28.432617 52.589701
    Unten links KachelX 27591 KachelY + 1 21473 -0.49633866 0.91780518 -28.438110 52.586363
    Unten rechts KachelX + 1 27592 KachelY + 1 21473 -0.49624278 0.91780518 -28.432617 52.586363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91786343-0.91780518) × R
    5.82500000000374e-05 × 6371000     		dl = 371.110750000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91786343-0.91780518) × R
    5.82500000000374e-05 × 6371000     		dr = 371.110750000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49633866--0.49624278) × cos(0.91786343) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.607518631140303 × 6371000     		do = 371.1036549596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49633866--0.49624278) × cos(0.91780518) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.607564898400779 × 6371000     		du = 371.131917384137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91786343)-sin(0.91780518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607518631140303-0.607564898400779)×R²
    abs(-0.49624278--0.49633866)×4.62672604756298e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62672604756298e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62672604756298e-05×40589641000000     		ar = 137725.800003511m²