Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27588 / 7228
↖ ↑ ↗
← N 80.122334°
W 28.454590°		 ← 104.78 m → N 80.122334°
W 28.449097°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
N 80.121391°
W 28.454590°		 ← 104.79 m →
10 982 m²		 N 80.121391°
W 28.449097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420967102050781 y=0.110298156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420967102050781 × 216)
    floor (0.420967102050781 × 65536)
    floor (27588.5)     		tx = 27588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110298156738281 × 216)
    floor (0.110298156738281 × 65536)
    floor (7228.5)     		ty = 7228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27588 / 7228 ti = "16/27588/7228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27588/7228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27588 ÷ 216
    27588 ÷ 65536     		x = 0.42095947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7228 ÷ 216
    7228 ÷ 65536     		y = 0.11029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42095947265625 × 2 - 1) × π
    -0.1580810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49662628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11029052734375 × 2 - 1) × π
    0.7794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44861683259247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49662628} λ = -0.49662628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44861683259247))-π/2
    2×atan(11.5723291757599)-π/2
    2×1.48459742879285-π/2
    2.96919485758569-1.57079632675     		φ = 1.39839853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49662628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.454590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39839853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.122334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27588 KachelY 7228 -0.49662628 1.39839853 -28.454590 80.122334
    Oben rechts KachelX + 1 27589 KachelY 7228 -0.49653041 1.39839853 -28.449097 80.122334
    Unten links KachelX 27588 KachelY + 1 7229 -0.49662628 1.39838208 -28.454590 80.121391
    Unten rechts KachelX + 1 27589 KachelY + 1 7229 -0.49653041 1.39838208 -28.449097 80.121391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39839853-1.39838208) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39839853-1.39838208) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49662628--0.49653041) × cos(1.39839853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171545092446893 × 6371000     		do = 104.77764447008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49662628--0.49653041) × cos(1.39838208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17156129857331 × 6371000     		du = 104.787542973894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39839853)-sin(1.39838208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171545092446893-0.17156129857331)×R²
    abs(-0.49653041--0.49662628)×1.62061264161462e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62061264161462e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62061264161462e-05×40589641000000     		ar = 10981.5249308935m²