Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27587 / 21473
↖ ↑ ↗
← N 52.586363°
W 28.460083°		 ← 371.09 m → N 52.586363°
W 28.454590°		 →
↑
371.11 m
↓
↑
371.11 m
↓
N 52.583026°
W 28.460083°		 ← 371.12 m →
137 722 m²		 N 52.583026°
W 28.454590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420951843261719 y=0.327659606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420951843261719 × 216)
    floor (0.420951843261719 × 65536)
    floor (27587.5)     		tx = 27587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327659606933594 × 216)
    floor (0.327659606933594 × 65536)
    floor (21473.5)     		ty = 21473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27587 / 21473 ti = "16/27587/21473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27587/21473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27587 ÷ 216
    27587 ÷ 65536     		x = 0.420944213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21473 ÷ 216
    21473 ÷ 65536     		y = 0.327651977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420944213867188 × 2 - 1) × π
    -0.158111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49672215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327651977539062 × 2 - 1) × π
    0.344696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08289456241707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49672215} λ = -0.49672215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08289456241707))-π/2
    2×atan(2.95321545772182)-π/2
    2×1.24430075524591-π/2
    2.48860151049182-1.57079632675     		φ = 0.91780518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49672215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.460083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91780518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.586363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27587 KachelY 21473 -0.49672215 0.91780518 -28.460083 52.586363
    Oben rechts KachelX + 1 27588 KachelY 21473 -0.49662628 0.91780518 -28.454590 52.586363
    Unten links KachelX 27587 KachelY + 1 21474 -0.49672215 0.91774693 -28.460083 52.583026
    Unten rechts KachelX + 1 27588 KachelY + 1 21474 -0.49662628 0.91774693 -28.454590 52.583026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91780518-0.91774693) × R
    5.82500000000374e-05 × 6371000     		dl = 371.110750000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91780518-0.91774693) × R
    5.82500000000374e-05 × 6371000     		dr = 371.110750000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49672215--0.49662628) × cos(0.91780518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607564898400779 × 6371000     		do = 371.09320942448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49672215--0.49662628) × cos(0.91774693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.607611163599749 × 6371000     		du = 371.121467642188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91780518)-sin(0.91774693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607564898400779-0.607611163599749)×R²
    abs(-0.49662628--0.49672215)×4.62651989699969e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62651989699969e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62651989699969e-05×40589641000000     		ar = 137721.922772543m²