Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 27584 / 9408
↖ ↑ ↗
← N 82.237994°
W104.238281°		 ← 41.24 m → N 82.237994°
W104.235535°		 →
↑
41.28 m
↓
↑
41.28 m
↓
N 82.237623°
W104.238281°		 ← 41.24 m →
1 703 m²		 N 82.237623°
W104.235535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210453033447266 y=0.0717811584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210453033447266 × 217)
    floor (0.210453033447266 × 131072)
    floor (27584.5)     		tx = 27584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0717811584472656 × 217)
    floor (0.0717811584472656 × 131072)
    floor (9408.5)     		ty = 9408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27584 / 9408 ti = "17/27584/9408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27584/9408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27584 ÷ 217
    27584 ÷ 131072     		x = 0.21044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9408 ÷ 217
    9408 ÷ 131072     		y = 0.07177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21044921875 × 2 - 1) × π
    -0.5791015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81930121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07177734375 × 2 - 1) × π
    0.8564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69060230187451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81930121} λ = -1.81930121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69060230187451))-π/2
    2×atan(14.7405515090877)-π/2
    2×1.50306004636215-π/2
    3.0061200927243-1.57079632675     		φ = 1.43532377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81930121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43532377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.237994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27584 KachelY 9408 -1.81930121 1.43532377 -104.238281 82.237994
    Oben rechts KachelX + 1 27585 KachelY 9408 -1.81925328 1.43532377 -104.235535 82.237994
    Unten links KachelX 27584 KachelY + 1 9409 -1.81930121 1.43531729 -104.238281 82.237623
    Unten rechts KachelX + 1 27585 KachelY + 1 9409 -1.81925328 1.43531729 -104.235535 82.237623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43532377-1.43531729) × R
    6.48000000014193e-06 × 6371000     		dl = 41.2840800009042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43532377-1.43531729) × R
    6.48000000014193e-06 × 6371000     		dr = 41.2840800009042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81930121--1.81925328) × cos(1.43532377) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.135058553119377 × 6371000     		do = 41.2417539492301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81930121--1.81925328) × cos(1.43531729) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.135064973744313 × 6371000     		du = 41.2437145642943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43532377)-sin(1.43531729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135058553119377-0.135064973744313)×R²
    abs(-1.81925328--1.81930121)×6.42062493566575e-06×R²
    4.79299999998073e-05×6.42062493566575e-06×6371000²
    4.79299999998073e-05×6.42062493566575e-06×40589641000000     		ar = 1702.66834053344m²