Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27581 / 6357
↖ ↑ ↗
← N 80.910220°
W 28.493042°		 ← 96.50 m → N 80.910220°
W 28.487549°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
N 80.909352°
W 28.493042°		 ← 96.51 m →
9 315 m²		 N 80.909352°
W 28.487549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420860290527344 y=0.0970077514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420860290527344 × 216)
    floor (0.420860290527344 × 65536)
    floor (27581.5)     		tx = 27581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970077514648438 × 216)
    floor (0.0970077514648438 × 65536)
    floor (6357.5)     		ty = 6357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27581 / 6357 ti = "16/27581/6357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27581/6357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27581 ÷ 216
    27581 ÷ 65536     		x = 0.420852661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6357 ÷ 216
    6357 ÷ 65536     		y = 0.0970001220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420852661132812 × 2 - 1) × π
    -0.158294677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49729740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970001220703125 × 2 - 1) × π
    0.805999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53212291173061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49729740} λ = -0.49729740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53212291173061))-π/2
    2×atan(12.5801844299175)-π/2
    2×1.49147302831774-π/2
    2.98294605663549-1.57079632675     		φ = 1.41214973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49729740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.493042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41214973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.910220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27581 KachelY 6357 -0.49729740 1.41214973 -28.493042 80.910220
    Oben rechts KachelX + 1 27582 KachelY 6357 -0.49720152 1.41214973 -28.487549 80.910220
    Unten links KachelX 27581 KachelY + 1 6358 -0.49729740 1.41213458 -28.493042 80.909352
    Unten rechts KachelX + 1 27582 KachelY + 1 6358 -0.49720152 1.41213458 -28.487549 80.909352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41214973-1.41213458) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dl = 96.5206500004767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41214973-1.41213458) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dr = 96.5206500004767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49729740--0.49720152) × cos(1.41214973) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.157981944541078 × 6371000     		do = 96.5035046361879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49729740--0.49720152) × cos(1.41213458) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.157996904269261 × 6371000     		du = 96.5126428082892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41214973)-sin(1.41213458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157981944541078-0.157996904269261)×R²
    abs(-0.49720152--0.49729740)×1.49597281833835e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.49597281833835e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.49597281833835e-05×40589641000000     		ar = 9315.02200624161m²