Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27580 / 21444
↖ ↑ ↗
← N 52.683043°
W 28.498535°		 ← 370.27 m → N 52.683043°
W 28.493042°		 →
↑
370.35 m
↓
↑
370.35 m
↓
N 52.679712°
W 28.498535°		 ← 370.30 m →
137 135 m²		 N 52.679712°
W 28.493042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420845031738281 y=0.327217102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420845031738281 × 216)
    floor (0.420845031738281 × 65536)
    floor (27580.5)     		tx = 27580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327217102050781 × 216)
    floor (0.327217102050781 × 65536)
    floor (21444.5)     		ty = 21444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27580 / 21444 ti = "16/27580/21444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27580/21444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27580 ÷ 216
    27580 ÷ 65536     		x = 0.42083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21444 ÷ 216
    21444 ÷ 65536     		y = 0.32720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42083740234375 × 2 - 1) × π
    -0.1583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49739327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32720947265625 × 2 - 1) × π
    0.3455810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08567490259503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49739327} λ = -0.49739327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08567490259503))-π/2
    2×atan(2.96143782650747)-π/2
    2×1.2451444414734-π/2
    2.49028888294679-1.57079632675     		φ = 0.91949256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49739327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.498535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91949256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.683043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27580 KachelY 21444 -0.49739327 0.91949256 -28.498535 52.683043
    Oben rechts KachelX + 1 27581 KachelY 21444 -0.49729740 0.91949256 -28.493042 52.683043
    Unten links KachelX 27580 KachelY + 1 21445 -0.49739327 0.91943443 -28.498535 52.679712
    Unten rechts KachelX + 1 27581 KachelY + 1 21445 -0.49729740 0.91943443 -28.493042 52.679712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91949256-0.91943443) × R
    5.81299999999896e-05 × 6371000     		dl = 370.346229999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91949256-0.91943443) × R
    5.81299999999896e-05 × 6371000     		dr = 370.346229999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49739327--0.49729740) × cos(0.91949256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606223798714272 × 6371000     		do = 370.274082137611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49739327--0.49729740) × cos(0.91943443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606270028136048 × 6371000     		du = 370.302318503046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91949256)-sin(0.91943443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606223798714272-0.606270028136048)×R²
    abs(-0.49729740--0.49739327)×4.62294217763448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62294217763448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62294217763448e-05×40589641000000     		ar = 137134.839040989m²