Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27578 / 8474
↖ ↑ ↗
← N 78.876409°
W 28.509522°		 ← 117.85 m → N 78.876409°
W 28.504028°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
N 78.875349°
W 28.509522°		 ← 117.86 m →
13 891 m²		 N 78.875349°
W 28.504028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420814514160156 y=0.129310607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420814514160156 × 216)
    floor (0.420814514160156 × 65536)
    floor (27578.5)     		tx = 27578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129310607910156 × 216)
    floor (0.129310607910156 × 65536)
    floor (8474.5)     		ty = 8474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27578 / 8474 ti = "16/27578/8474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27578/8474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27578 ÷ 216
    27578 ÷ 65536     		x = 0.420806884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8474 ÷ 216
    8474 ÷ 65536     		y = 0.129302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420806884765625 × 2 - 1) × π
    -0.15838623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49758502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129302978515625 × 2 - 1) × π
    0.74139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32915807873929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49758502} λ = -0.49758502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32915807873929))-π/2
    2×atan(10.2692919571923)-π/2
    2×1.47372468240125-π/2
    2.9474493648025-1.57079632675     		φ = 1.37665304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49758502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.509522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37665304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.876409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27578 KachelY 8474 -0.49758502 1.37665304 -28.509522 78.876409
    Oben rechts KachelX + 1 27579 KachelY 8474 -0.49748914 1.37665304 -28.504028 78.876409
    Unten links KachelX 27578 KachelY + 1 8475 -0.49758502 1.37663454 -28.509522 78.875349
    Unten rechts KachelX + 1 27579 KachelY + 1 8475 -0.49748914 1.37663454 -28.504028 78.875349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37665304-1.37663454) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dl = 117.863500000914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37665304-1.37663454) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dr = 117.863500000914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49758502--0.49748914) × cos(1.37665304) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.192925987463697 × 6371000     		do = 117.849124972652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49758502--0.49748914) × cos(1.37663454) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.192944139876951 × 6371000     		du = 117.860213401154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37665304)-sin(1.37663454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192925987463697-0.192944139876951)×R²
    abs(-0.49748914--0.49758502)×1.81524132539801e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.81524132539801e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.81524132539801e-05×40589641000000     		ar = 13890.7638023422m²