Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27576 / 6362
↖ ↑ ↗
← N 80.905879°
W 28.520508°		 ← 96.55 m → N 80.905879°
W 28.515015°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
N 80.905011°
W 28.520508°		 ← 96.56 m →
9 319 m²		 N 80.905011°
W 28.515015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420783996582031 y=0.0970840454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420783996582031 × 216)
    floor (0.420783996582031 × 65536)
    floor (27576.5)     		tx = 27576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970840454101562 × 216)
    floor (0.0970840454101562 × 65536)
    floor (6362.5)     		ty = 6362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27576 / 6362 ti = "16/27576/6362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27576/6362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27576 ÷ 216
    27576 ÷ 65536     		x = 0.4207763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6362 ÷ 216
    6362 ÷ 65536     		y = 0.097076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4207763671875 × 2 - 1) × π
    -0.158447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49777677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097076416015625 × 2 - 1) × π
    0.80584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53164354273441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49777677} λ = -0.49777677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53164354273441))-π/2
    2×atan(12.5741553247338)-π/2
    2×1.49143515353136-π/2
    2.98287030706273-1.57079632675     		φ = 1.41207398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49777677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.520508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41207398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.905879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27576 KachelY 6362 -0.49777677 1.41207398 -28.520508 80.905879
    Oben rechts KachelX + 1 27577 KachelY 6362 -0.49768089 1.41207398 -28.515015 80.905879
    Unten links KachelX 27576 KachelY + 1 6363 -0.49777677 1.41205883 -28.520508 80.905011
    Unten rechts KachelX + 1 27577 KachelY + 1 6363 -0.49768089 1.41205883 -28.515015 80.905011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41207398-1.41205883) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dl = 96.5206499990621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41207398-1.41205883) × R
    1.51499999998528e-05 × 6371000     		dr = 96.5206499990621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49777677--0.49768089) × cos(1.41207398) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.158056742819322 × 6371000     		do = 96.5491952751547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49777677--0.49768089) × cos(1.41205883) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.158071702366151 × 6371000     		du = 96.5583333364756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41207398)-sin(1.41205883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158056742819322-0.158071702366151)×R²
    abs(-0.49768089--0.49777677)×1.49595468295904e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.49595468295904e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.49595468295904e-05×40589641000000     		ar = 9319.43209106016m²