Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27574 / 8587
↖ ↑ ↗
← N 78.756016°
W 28.531494°		 ← 119.10 m → N 78.756016°
W 28.526001°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
N 78.754945°
W 28.531494°		 ← 119.11 m →
14 182 m²		 N 78.754945°
W 28.526001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420753479003906 y=0.131034851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420753479003906 × 216)
    floor (0.420753479003906 × 65536)
    floor (27574.5)     		tx = 27574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131034851074219 × 216)
    floor (0.131034851074219 × 65536)
    floor (8587.5)     		ty = 8587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27574 / 8587 ti = "16/27574/8587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27574/8587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27574 ÷ 216
    27574 ÷ 65536     		x = 0.420745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8587 ÷ 216
    8587 ÷ 65536     		y = 0.131027221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.15850830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49796851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131027221679688 × 2 - 1) × π
    0.737945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31832433942516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49796851} λ = -0.49796851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31832433942516))-π/2
    2×atan(10.1586376076645)-π/2
    2×1.47267405392335-π/2
    2.9453481078467-1.57079632675     		φ = 1.37455178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49796851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.531494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37455178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.756016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27574 KachelY 8587 -0.49796851 1.37455178 -28.531494 78.756016
    Oben rechts KachelX + 1 27575 KachelY 8587 -0.49787264 1.37455178 -28.526001 78.756016
    Unten links KachelX 27574 KachelY + 1 8588 -0.49796851 1.37453309 -28.531494 78.754945
    Unten rechts KachelX + 1 27575 KachelY + 1 8588 -0.49787264 1.37453309 -28.526001 78.754945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37455178-1.37453309) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dl = 119.07399000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37455178-1.37453309) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dr = 119.07399000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49796851--0.49787264) × cos(1.37455178) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194987344317854 × 6371000     		do = 119.095885214122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49796851--0.49787264) × cos(1.37453309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19500567554342 × 6371000     		du = 119.107081702507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37455178)-sin(1.37453309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194987344317854-0.19500567554342)×R²
    abs(-0.49787264--0.49796851)×1.83312255659374e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83312255659374e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83312255659374e-05×40589641000000     		ar = 14181.8888508639m²