Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27574 / 8473
↖ ↑ ↗
← N 78.877468°
W 28.531494°		 ← 117.83 m → N 78.877468°
W 28.526001°		 →
↑
117.80 m
↓
↑
117.80 m
↓
N 78.876409°
W 28.531494°		 ← 117.84 m →
13 881 m²		 N 78.876409°
W 28.526001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420753479003906 y=0.129295349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420753479003906 × 216)
    floor (0.420753479003906 × 65536)
    floor (27574.5)     		tx = 27574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129295349121094 × 216)
    floor (0.129295349121094 × 65536)
    floor (8473.5)     		ty = 8473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27574 / 8473 ti = "16/27574/8473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27574/8473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27574 ÷ 216
    27574 ÷ 65536     		x = 0.420745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8473 ÷ 216
    8473 ÷ 65536     		y = 0.129287719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.15850830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49796851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129287719726562 × 2 - 1) × π
    0.741424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32925395253853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49796851} λ = -0.49796851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32925395253853))-π/2
    2×atan(10.2702765604258)-π/2
    2×1.47373393024005-π/2
    2.94746786048009-1.57079632675     		φ = 1.37667153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49796851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.531494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37667153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.877468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27574 KachelY 8473 -0.49796851 1.37667153 -28.531494 78.877468
    Oben rechts KachelX + 1 27575 KachelY 8473 -0.49787264 1.37667153 -28.526001 78.877468
    Unten links KachelX 27574 KachelY + 1 8474 -0.49796851 1.37665304 -28.531494 78.876409
    Unten rechts KachelX + 1 27575 KachelY + 1 8474 -0.49787264 1.37665304 -28.526001 78.876409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37667153-1.37665304) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dl = 117.799789999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37667153-1.37665304) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dr = 117.799789999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49796851--0.49787264) × cos(1.37667153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192907844796583 × 6371000     		do = 117.825752338809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49796851--0.49787264) × cos(1.37665304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192925987463697 × 6371000     		du = 117.836833657997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37667153)-sin(1.37665304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192907844796583-0.192925987463697)×R²
    abs(-0.49787264--0.49796851)×1.81426671139184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.81426671139184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.81426671139184e-05×40589641000000     		ar = 13880.5015710451m²