Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27574 / 6363
↖ ↑ ↗
← N 80.905011°
W 28.531494°		 ← 96.55 m → N 80.905011°
W 28.526001°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
N 80.904143°
W 28.531494°		 ← 96.56 m →
9 325 m²		 N 80.904143°
W 28.526001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420753479003906 y=0.0970993041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420753479003906 × 216)
    floor (0.420753479003906 × 65536)
    floor (27574.5)     		tx = 27574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970993041992188 × 216)
    floor (0.0970993041992188 × 65536)
    floor (6363.5)     		ty = 6363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27574 / 6363 ti = "16/27574/6363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27574/6363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27574 ÷ 216
    27574 ÷ 65536     		x = 0.420745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6363 ÷ 216
    6363 ÷ 65536     		y = 0.0970916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.15850830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49796851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970916748046875 × 2 - 1) × π
    0.805816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53154766893517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49796851} λ = -0.49796851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53154766893517))-π/2
    2×atan(12.5729498504782)-π/2
    2×1.49142757642251-π/2
    2.98285515284502-1.57079632675     		φ = 1.41205883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49796851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.531494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41205883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.905011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27574 KachelY 6363 -0.49796851 1.41205883 -28.531494 80.905011
    Oben rechts KachelX + 1 27575 KachelY 6363 -0.49787264 1.41205883 -28.526001 80.905011
    Unten links KachelX 27574 KachelY + 1 6364 -0.49796851 1.41204367 -28.531494 80.904143
    Unten rechts KachelX + 1 27575 KachelY + 1 6364 -0.49787264 1.41204367 -28.526001 80.904143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41205883-1.41204367) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41205883-1.41204367) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49796851--0.49787264) × cos(1.41205883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158071702366151 × 6371000     		do = 96.5482625883232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49796851--0.49787264) × cos(1.41204367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158086671750953 × 6371000     		du = 96.5574057054842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41205883)-sin(1.41204367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158071702366151-0.158086671750953)×R²
    abs(-0.49787264--0.49796851)×1.4969384801139e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4969384801139e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4969384801139e-05×40589641000000     		ar = 9325.49369239618m²