Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27573 / 8501
↖ ↑ ↗
← N 78.847759°
W 28.536987°		 ← 118.15 m → N 78.847759°
W 28.531494°		 →
↑
118.18 m
↓
↑
118.18 m
↓
N 78.846696°
W 28.536987°		 ← 118.16 m →
13 964 m²		 N 78.846696°
W 28.531494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420738220214844 y=0.129722595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420738220214844 × 216)
    floor (0.420738220214844 × 65536)
    floor (27573.5)     		tx = 27573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129722595214844 × 216)
    floor (0.129722595214844 × 65536)
    floor (8501.5)     		ty = 8501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27573 / 8501 ti = "16/27573/8501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27573/8501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27573 ÷ 216
    27573 ÷ 65536     		x = 0.420730590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8501 ÷ 216
    8501 ÷ 65536     		y = 0.129714965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420730590820312 × 2 - 1) × π
    -0.158538818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49806439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129714965820312 × 2 - 1) × π
    0.740570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32656948615981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49806439} λ = -0.49806439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32656948615981))-π/2
    2×atan(10.2427433208616)-π/2
    2×1.4734746616322-π/2
    2.9469493232644-1.57079632675     		φ = 1.37615300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49806439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.536987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37615300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.847759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27573 KachelY 8501 -0.49806439 1.37615300 -28.536987 78.847759
    Oben rechts KachelX + 1 27574 KachelY 8501 -0.49796851 1.37615300 -28.531494 78.847759
    Unten links KachelX 27573 KachelY + 1 8502 -0.49806439 1.37613445 -28.536987 78.846696
    Unten rechts KachelX + 1 27574 KachelY + 1 8502 -0.49796851 1.37613445 -28.531494 78.846696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37615300-1.37613445) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dl = 118.182050000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37615300-1.37613445) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dr = 118.182050000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49806439--0.49796851) × cos(1.37615300) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193416609228104 × 6371000     		do = 118.148822003628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49806439--0.49796851) × cos(1.37613445) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193434808909953 × 6371000     		du = 118.159939306221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37615300)-sin(1.37613445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193416609228104-0.193434808909953)×R²
    abs(-0.49796851--0.49806439)×1.81996818491847e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.81996818491847e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.81996818491847e-05×40589641000000     		ar = 13963.726922818m²