Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27572 / 8488
↖ ↑ ↗
← N 78.861563°
W 28.542480°		 ← 117.99 m → N 78.861563°
W 28.536987°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
N 78.860501°
W 28.542480°		 ← 118 m →
13 930 m²		 N 78.860501°
W 28.536987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420722961425781 y=0.129524230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420722961425781 × 216)
    floor (0.420722961425781 × 65536)
    floor (27572.5)     		tx = 27572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129524230957031 × 216)
    floor (0.129524230957031 × 65536)
    floor (8488.5)     		ty = 8488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27572 / 8488 ti = "16/27572/8488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27572/8488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27572 ÷ 216
    27572 ÷ 65536     		x = 0.42071533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8488 ÷ 216
    8488 ÷ 65536     		y = 0.1295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42071533203125 × 2 - 1) × π
    -0.1585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49816026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1295166015625 × 2 - 1) × π
    0.740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32781584554993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49816026} λ = -0.49816026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32781584554993))-π/2
    2×atan(10.2555174190852)-π/2
    2×1.47359512127127-π/2
    2.94719024254254-1.57079632675     		φ = 1.37639392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49816026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.542480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37639392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.861563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27572 KachelY 8488 -0.49816026 1.37639392 -28.542480 78.861563
    Oben rechts KachelX + 1 27573 KachelY 8488 -0.49806439 1.37639392 -28.536987 78.861563
    Unten links KachelX 27572 KachelY + 1 8489 -0.49816026 1.37637539 -28.542480 78.860501
    Unten rechts KachelX + 1 27573 KachelY + 1 8489 -0.49806439 1.37637539 -28.536987 78.860501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37639392-1.37637539) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37639392-1.37637539) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49816026--0.49806439) × cos(1.37639392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193180232977388 × 6371000     		do = 117.992123708337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49816026--0.49806439) × cos(1.37637539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193198413899947 × 6371000     		du = 118.003228393483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37639392)-sin(1.37637539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193180232977388-0.193198413899947)×R²
    abs(-0.49806439--0.49816026)×1.81809225590357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.81809225590357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.81809225590357e-05×40589641000000     		ar = 13930.1719875833m²