Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27569 / 8583
↖ ↑ ↗
← N 78.760299°
W 28.558960°		 ← 119.05 m → N 78.760299°
W 28.553467°		 →
↑
119.01 m
↓
↑
119.01 m
↓
N 78.759229°
W 28.558960°		 ← 119.06 m →
14 169 m²		 N 78.759229°
W 28.553467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420677185058594 y=0.130973815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420677185058594 × 216)
    floor (0.420677185058594 × 65536)
    floor (27569.5)     		tx = 27569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130973815917969 × 216)
    floor (0.130973815917969 × 65536)
    floor (8583.5)     		ty = 8583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27569 / 8583 ti = "16/27569/8583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27569/8583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27569 ÷ 216
    27569 ÷ 65536     		x = 0.420669555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8583 ÷ 216
    8583 ÷ 65536     		y = 0.130966186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420669555664062 × 2 - 1) × π
    -0.158660888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49844788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130966186523438 × 2 - 1) × π
    0.738067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31870783462212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49844788} λ = -0.49844788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31870783462212))-π/2
    2×atan(10.1625341434983)-π/2
    2×1.47271143524748-π/2
    2.94542287049497-1.57079632675     		φ = 1.37462654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49844788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.558960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37462654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.760299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27569 KachelY 8583 -0.49844788 1.37462654 -28.558960 78.760299
    Oben rechts KachelX + 1 27570 KachelY 8583 -0.49835201 1.37462654 -28.553467 78.760299
    Unten links KachelX 27569 KachelY + 1 8584 -0.49844788 1.37460786 -28.558960 78.759229
    Unten rechts KachelX + 1 27570 KachelY + 1 8584 -0.49835201 1.37460786 -28.553467 78.759229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37462654-1.37460786) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dl = 119.010279999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37462654-1.37460786) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dr = 119.010279999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49844788--0.49835201) × cos(1.37462654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194914018734533 × 6371000     		do = 119.051098844601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49844788--0.49835201) × cos(1.37460786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.194932340424342 × 6371000     		du = 119.062289508662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37462654)-sin(1.37460786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194914018734533-0.194932340424342)×R²
    abs(-0.49835201--0.49844788)×1.83216898093364e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83216898093364e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83216898093364e-05×40589641000000     		ar = 14168.9705101616m²