Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27568 / 8594
↖ ↑ ↗
← N 78.748516°
W 28.564453°		 ← 119.19 m → N 78.748516°
W 28.558960°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
N 78.747444°
W 28.564453°		 ← 119.20 m →
14 208 m²		 N 78.747444°
W 28.558960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420661926269531 y=0.131141662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420661926269531 × 216)
    floor (0.420661926269531 × 65536)
    floor (27568.5)     		tx = 27568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131141662597656 × 216)
    floor (0.131141662597656 × 65536)
    floor (8594.5)     		ty = 8594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27568 / 8594 ti = "16/27568/8594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27568/8594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27568 ÷ 216
    27568 ÷ 65536     		x = 0.420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8594 ÷ 216
    8594 ÷ 65536     		y = 0.131134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.15869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49854376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131134033203125 × 2 - 1) × π
    0.73773193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31765322283047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49854376} λ = -0.49854376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31765322283047))-π/2
    2×atan(10.1518222645873)-π/2
    2×1.47260860276386-π/2
    2.94521720552772-1.57079632675     		φ = 1.37442088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49854376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.564453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37442088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.748516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27568 KachelY 8594 -0.49854376 1.37442088 -28.564453 78.748516
    Oben rechts KachelX + 1 27569 KachelY 8594 -0.49844788 1.37442088 -28.558960 78.748516
    Unten links KachelX 27568 KachelY + 1 8595 -0.49854376 1.37440217 -28.564453 78.747444
    Unten rechts KachelX + 1 27569 KachelY + 1 8595 -0.49844788 1.37440217 -28.558960 78.747444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37442088-1.37440217) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37442088-1.37440217) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49854376--0.49844788) × cos(1.37442088) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.195115730120716 × 6371000     		do = 119.186732515511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49854376--0.49844788) × cos(1.37440217) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.195134080484594 × 6371000     		du = 119.197941862444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37442088)-sin(1.37440217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195115730120716-0.195134080484594)×R²
    abs(-0.49844788--0.49854376)×1.8350363877262e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.8350363877262e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.8350363877262e-05×40589641000000     		ar = 14207.8946548235m²