Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27567 / 8502
↖ ↑ ↗
← N 78.846696°
W 28.569946°		 ← 118.15 m → N 78.846696°
W 28.564453°		 →
↑
118.12 m
↓
↑
118.12 m
↓
N 78.845634°
W 28.569946°		 ← 118.16 m →
13 956 m²		 N 78.845634°
W 28.564453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420646667480469 y=0.129737854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420646667480469 × 216)
    floor (0.420646667480469 × 65536)
    floor (27567.5)     		tx = 27567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129737854003906 × 216)
    floor (0.129737854003906 × 65536)
    floor (8502.5)     		ty = 8502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27567 / 8502 ti = "16/27567/8502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27567/8502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27567 ÷ 216
    27567 ÷ 65536     		x = 0.420639038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8502 ÷ 216
    8502 ÷ 65536     		y = 0.129730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420639038085938 × 2 - 1) × π
    -0.158721923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49863963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129730224609375 × 2 - 1) × π
    0.74053955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32647361236057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49863963} λ = -0.49863963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32647361236057))-π/2
    2×atan(10.2417613572178)-π/2
    2×1.47346538940337-π/2
    2.94693077880674-1.57079632675     		φ = 1.37613445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49863963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.569946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37613445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.846696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27567 KachelY 8502 -0.49863963 1.37613445 -28.569946 78.846696
    Oben rechts KachelX + 1 27568 KachelY 8502 -0.49854376 1.37613445 -28.564453 78.846696
    Unten links KachelX 27567 KachelY + 1 8503 -0.49863963 1.37611591 -28.569946 78.845634
    Unten rechts KachelX + 1 27568 KachelY + 1 8503 -0.49854376 1.37611591 -28.564453 78.845634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37613445-1.37611591) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dl = 118.118339999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37613445-1.37611591) × R
    1.85399999999003e-05 × 6371000     		dr = 118.118339999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49863963--0.49854376) × cos(1.37613445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193434808909953 × 6371000     		do = 118.147615574484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49863963--0.49854376) × cos(1.37611591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193452998714145 × 6371000     		du = 118.158725684423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37613445)-sin(1.37611591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193434808909953-0.193452998714145)×R²
    abs(-0.49854376--0.49863963)×1.81898041922146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.81898041922146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.81898041922146e-05×40589641000000     		ar = 13956.0563808868m²