Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27566 / 8505
↖ ↑ ↗
← N 78.843508°
W 28.575439°		 ← 118.18 m → N 78.843508°
W 28.569946°		 →
↑
118.18 m
↓
↑
118.18 m
↓
N 78.842445°
W 28.575439°		 ← 118.19 m →
13 968 m²		 N 78.842445°
W 28.569946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420631408691406 y=0.129783630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420631408691406 × 216)
    floor (0.420631408691406 × 65536)
    floor (27566.5)     		tx = 27566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129783630371094 × 216)
    floor (0.129783630371094 × 65536)
    floor (8505.5)     		ty = 8505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27566 / 8505 ti = "16/27566/8505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27566/8505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27566 ÷ 216
    27566 ÷ 65536     		x = 0.420623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8505 ÷ 216
    8505 ÷ 65536     		y = 0.129776000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.15875244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49873550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129776000976562 × 2 - 1) × π
    0.740447998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32618599096284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49873550} λ = -0.49873550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32618599096284))-π/2
    2×atan(10.2388160310909)-π/2
    2×1.47343756748328-π/2
    2.94687513496656-1.57079632675     		φ = 1.37607881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49873550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.575439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37607881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.843508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27566 KachelY 8505 -0.49873550 1.37607881 -28.575439 78.843508
    Oben rechts KachelX + 1 27567 KachelY 8505 -0.49863963 1.37607881 -28.569946 78.843508
    Unten links KachelX 27566 KachelY + 1 8506 -0.49873550 1.37606026 -28.575439 78.842445
    Unten rechts KachelX + 1 27567 KachelY + 1 8506 -0.49863963 1.37606026 -28.569946 78.842445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37607881-1.37606026) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dl = 118.182050000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37607881-1.37606026) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dr = 118.182050000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49873550--0.49863963) × cos(1.37607881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193489397745083 × 6371000     		do = 118.18095776736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49873550--0.49863963) × cos(1.37606026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193507597160685 × 6371000     		du = 118.192073747831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37607881)-sin(1.37606026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193489397745083-0.193507597160685)×R²
    abs(-0.49863963--0.49873550)×1.81994156019105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.81994156019105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.81994156019105e-05×40589641000000     		ar = 13967.5247150011m²