Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27565 / 8463
↖ ↑ ↗
← N 78.888060°
W 28.580933°		 ← 117.73 m → N 78.888060°
W 28.575439°		 →
↑
117.67 m
↓
↑
117.67 m
↓
N 78.887002°
W 28.580933°		 ← 117.74 m →
13 854 m²		 N 78.887002°
W 28.575439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420616149902344 y=0.129142761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420616149902344 × 216)
    floor (0.420616149902344 × 65536)
    floor (27565.5)     		tx = 27565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129142761230469 × 216)
    floor (0.129142761230469 × 65536)
    floor (8463.5)     		ty = 8463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27565 / 8463 ti = "16/27565/8463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27565/8463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27565 ÷ 216
    27565 ÷ 65536     		x = 0.420608520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8463 ÷ 216
    8463 ÷ 65536     		y = 0.129135131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420608520507812 × 2 - 1) × π
    -0.158782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49883138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129135131835938 × 2 - 1) × π
    0.741729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33021269053093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49883138} λ = -0.49883138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33021269053093))-π/2
    2×atan(10.2801277863744)-π/2
    2×1.4738263607948-π/2
    2.94765272158959-1.57079632675     		φ = 1.37685639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49883138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.580933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37685639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.888060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27565 KachelY 8463 -0.49883138 1.37685639 -28.580933 78.888060
    Oben rechts KachelX + 1 27566 KachelY 8463 -0.49873550 1.37685639 -28.575439 78.888060
    Unten links KachelX 27565 KachelY + 1 8464 -0.49883138 1.37683792 -28.580933 78.887002
    Unten rechts KachelX + 1 27566 KachelY + 1 8464 -0.49873550 1.37683792 -28.575439 78.887002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37685639-1.37683792) × R
    1.84699999998816e-05 × 6371000     		dl = 117.672369999246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37685639-1.37683792) × R
    1.84699999998816e-05 × 6371000     		dr = 117.672369999246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49883138--0.49873550) × cos(1.37685639) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.192726453749244 × 6371000     		do = 117.727239507868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49883138--0.49873550) × cos(1.37683792) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.192744577450471 × 6371000     		du = 117.738310397586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37685639)-sin(1.37683792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192726453749244-0.192744577450471)×R²
    abs(-0.49873550--0.49883138)×1.81237012264746e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.81237012264746e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.81237012264746e-05×40589641000000     		ar = 13853.894655373m²