Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27564 / 8503
↖ ↑ ↗
← N 78.845634°
W 28.586426°		 ← 118.16 m → N 78.845634°
W 28.580933°		 →
↑
118.18 m
↓
↑
118.18 m
↓
N 78.844571°
W 28.586426°		 ← 118.17 m →
13 965 m²		 N 78.844571°
W 28.580933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420600891113281 y=0.129753112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420600891113281 × 216)
    floor (0.420600891113281 × 65536)
    floor (27564.5)     		tx = 27564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129753112792969 × 216)
    floor (0.129753112792969 × 65536)
    floor (8503.5)     		ty = 8503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27564 / 8503 ti = "16/27564/8503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27564/8503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27564 ÷ 216
    27564 ÷ 65536     		x = 0.42059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8503 ÷ 216
    8503 ÷ 65536     		y = 0.129745483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129745483398438 × 2 - 1) × π
    0.740509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32637773856132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49892725} λ = -0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32637773856132))-π/2
    2×atan(10.2407794877141)-π/2
    2×1.47345611630233-π/2
    2.94691223260466-1.57079632675     		φ = 1.37611591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37611591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.845634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27564 KachelY 8503 -0.49892725 1.37611591 -28.586426 78.845634
    Oben rechts KachelX + 1 27565 KachelY 8503 -0.49883138 1.37611591 -28.580933 78.845634
    Unten links KachelX 27564 KachelY + 1 8504 -0.49892725 1.37609736 -28.586426 78.844571
    Unten rechts KachelX + 1 27565 KachelY + 1 8504 -0.49883138 1.37609736 -28.580933 78.844571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37611591-1.37609736) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dl = 118.182050000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37611591-1.37609736) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dr = 118.182050000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49892725--0.49883138) × cos(1.37611591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193452998714145 × 6371000     		do = 118.158725684423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49892725--0.49883138) × cos(1.37609736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193471198262901 × 6371000     		du = 118.169841746223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37611591)-sin(1.37609736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193452998714145-0.193471198262901)×R²
    abs(-0.49883138--0.49892725)×1.81995487560094e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.81995487560094e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.81995487560094e-05×40589641000000     		ar = 13964.897286688m²