Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27562 / 8744
↖ ↑ ↗
← N 78.586606°
W 28.597412°		 ← 120.87 m → N 78.586606°
W 28.591919°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
N 78.585519°
W 28.597412°		 ← 120.88 m →
14 616 m²		 N 78.585519°
W 28.591919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420570373535156 y=0.133430480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420570373535156 × 216)
    floor (0.420570373535156 × 65536)
    floor (27562.5)     		tx = 27562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133430480957031 × 216)
    floor (0.133430480957031 × 65536)
    floor (8744.5)     		ty = 8744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27562 / 8744 ti = "16/27562/8744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27562/8744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27562 ÷ 216
    27562 ÷ 65536     		x = 0.420562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8744 ÷ 216
    8744 ÷ 65536     		y = 0.1334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420562744140625 × 2 - 1) × π
    -0.15887451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49911900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1334228515625 × 2 - 1) × π
    0.733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30327215294446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49911900} λ = -0.49911900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30327215294446))-π/2
    2×atan(10.0068729603016)-π/2
    2×1.4711956771402-π/2
    2.9423913542804-1.57079632675     		φ = 1.37159503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49911900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.597412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37159503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.586606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27562 KachelY 8744 -0.49911900 1.37159503 -28.597412 78.586606
    Oben rechts KachelX + 1 27563 KachelY 8744 -0.49902313 1.37159503 -28.591919 78.586606
    Unten links KachelX 27562 KachelY + 1 8745 -0.49911900 1.37157605 -28.597412 78.585519
    Unten rechts KachelX + 1 27563 KachelY + 1 8745 -0.49902313 1.37157605 -28.591919 78.585519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37159503-1.37157605) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dl = 120.921579999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37159503-1.37157605) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dr = 120.921579999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49911900--0.49902313) × cos(1.37159503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197886485193108 × 6371000     		do = 120.866645004234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49911900--0.49902313) × cos(1.37157605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197905089826883 × 6371000     		du = 120.878008487009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37159503)-sin(1.37157605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197886485193108-0.197905089826883)×R²
    abs(-0.49902313--0.49911900)×1.86046337745105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86046337745105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86046337745105e-05×40589641000000     		ar = 14616.0727288077m²