Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27559 / 9009
↖ ↑ ↗
← N 78.294930°
W 28.613892°		 ← 123.91 m → N 78.294930°
W 28.608399°		 →
↑
123.92 m
↓
↑
123.92 m
↓
N 78.293815°
W 28.613892°		 ← 123.92 m →
15 356 m²		 N 78.293815°
W 28.608399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420524597167969 y=0.137474060058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420524597167969 × 216)
    floor (0.420524597167969 × 65536)
    floor (27559.5)     		tx = 27559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137474060058594 × 216)
    floor (0.137474060058594 × 65536)
    floor (9009.5)     		ty = 9009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27559 / 9009 ti = "16/27559/9009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27559/9009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27559 ÷ 216
    27559 ÷ 65536     		x = 0.420516967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9009 ÷ 216
    9009 ÷ 65536     		y = 0.137466430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420516967773438 × 2 - 1) × π
    -0.158966064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49940662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137466430664062 × 2 - 1) × π
    0.725067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27786559614583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49940662} λ = -0.49940662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27786559614583))-π/2
    2×atan(9.75583527905885)-π/2
    2×1.46865031734186-π/2
    2.93730063468371-1.57079632675     		φ = 1.36650431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49940662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.613892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36650431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.294930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27559 KachelY 9009 -0.49940662 1.36650431 -28.613892 78.294930
    Oben rechts KachelX + 1 27560 KachelY 9009 -0.49931075 1.36650431 -28.608399 78.294930
    Unten links KachelX 27559 KachelY + 1 9010 -0.49940662 1.36648486 -28.613892 78.293815
    Unten rechts KachelX + 1 27560 KachelY + 1 9010 -0.49931075 1.36648486 -28.608399 78.293815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36650431-1.36648486) × R
    1.9450000000143e-05 × 6371000     		dl = 123.915950000911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36650431-1.36648486) × R
    1.9450000000143e-05 × 6371000     		dr = 123.915950000911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49940662--0.49931075) × cos(1.36650431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202873950210851 × 6371000     		do = 123.912927640374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49940662--0.49931075) × cos(1.36648486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202892995707028 × 6371000     		du = 123.924560396512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36650431)-sin(1.36648486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202873950210851-0.202892995707028)×R²
    abs(-0.49931075--0.49940662)×1.90454961767061e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90454961767061e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90454961767061e-05×40589641000000     		ar = 15355.5088882146m²