Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27559 / 8747
↖ ↑ ↗
← N 78.583345°
W 28.613892°		 ← 120.90 m → N 78.583345°
W 28.608399°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
N 78.582257°
W 28.613892°		 ← 120.91 m →
14 620 m²		 N 78.582257°
W 28.608399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420524597167969 y=0.133476257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420524597167969 × 216)
    floor (0.420524597167969 × 65536)
    floor (27559.5)     		tx = 27559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133476257324219 × 216)
    floor (0.133476257324219 × 65536)
    floor (8747.5)     		ty = 8747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27559 / 8747 ti = "16/27559/8747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27559/8747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27559 ÷ 216
    27559 ÷ 65536     		x = 0.420516967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8747 ÷ 216
    8747 ÷ 65536     		y = 0.133468627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420516967773438 × 2 - 1) × π
    -0.158966064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49940662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133468627929688 × 2 - 1) × π
    0.733062744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30298453154674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49940662} λ = -0.49940662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30298453154674))-π/2
    2×atan(10.0039951833889)-π/2
    2×1.47116721493409-π/2
    2.94233442986819-1.57079632675     		φ = 1.37153810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49940662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.613892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37153810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.583345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27559 KachelY 8747 -0.49940662 1.37153810 -28.613892 78.583345
    Oben rechts KachelX + 1 27560 KachelY 8747 -0.49931075 1.37153810 -28.608399 78.583345
    Unten links KachelX 27559 KachelY + 1 8748 -0.49940662 1.37151912 -28.613892 78.582257
    Unten rechts KachelX + 1 27560 KachelY + 1 8748 -0.49931075 1.37151912 -28.608399 78.582257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37153810-1.37151912) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dl = 120.921579999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37153810-1.37151912) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dr = 120.921579999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49940662--0.49931075) × cos(1.37153810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197942289078408 × 6371000     		do = 120.900729334894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49940662--0.49931075) × cos(1.37151912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19796089349832 × 6371000     		du = 120.912092687044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37153810)-sin(1.37151912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197942289078408-0.19796089349832)×R²
    abs(-0.49931075--0.49940662)×1.86044199117774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86044199117774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86044199117774e-05×40589641000000     		ar = 14620.1942517878m²