Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27557 / 8459
↖ ↑ ↗
← N 78.892294°
W 28.624878°		 ← 117.68 m → N 78.892294°
W 28.619385°		 →
↑
117.67 m
↓
↑
117.67 m
↓
N 78.891236°
W 28.624878°		 ← 117.69 m →
13 849 m²		 N 78.891236°
W 28.619385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420494079589844 y=0.129081726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420494079589844 × 216)
    floor (0.420494079589844 × 65536)
    floor (27557.5)     		tx = 27557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129081726074219 × 216)
    floor (0.129081726074219 × 65536)
    floor (8459.5)     		ty = 8459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27557 / 8459 ti = "16/27557/8459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27557/8459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27557 ÷ 216
    27557 ÷ 65536     		x = 0.420486450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8459 ÷ 216
    8459 ÷ 65536     		y = 0.129074096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420486450195312 × 2 - 1) × π
    -0.159027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49959837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129074096679688 × 2 - 1) × π
    0.741851806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33059618572789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49959837} λ = -0.49959837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33059618572789))-π/2
    2×atan(10.2840709220431)-π/2
    2×1.47386330867625-π/2
    2.94772661735249-1.57079632675     		φ = 1.37693029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49959837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.624878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37693029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.892294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27557 KachelY 8459 -0.49959837 1.37693029 -28.624878 78.892294
    Oben rechts KachelX + 1 27558 KachelY 8459 -0.49950249 1.37693029 -28.619385 78.892294
    Unten links KachelX 27557 KachelY + 1 8460 -0.49959837 1.37691182 -28.624878 78.891236
    Unten rechts KachelX + 1 27558 KachelY + 1 8460 -0.49950249 1.37691182 -28.619385 78.891236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37693029-1.37691182) × R
    1.84700000001037e-05 × 6371000     		dl = 117.672370000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37693029-1.37691182) × R
    1.84700000001037e-05 × 6371000     		dr = 117.672370000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49959837--0.49950249) × cos(1.37693029) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.192653938661596 × 6371000     		do = 117.682943559256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49959837--0.49950249) × cos(1.37691182) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.192672062625844 × 6371000     		du = 117.69401460964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37693029)-sin(1.37691182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192653938661596-0.192672062625844)×R²
    abs(-0.49950249--0.49959837)×1.81239642482456e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.81239642482456e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.81239642482456e-05×40589641000000     		ar = 13848.6822557829m²