Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27557 / 21414
↖ ↑ ↗
← N 52.782831°
W 28.624878°		 ← 369.47 m → N 52.782831°
W 28.619385°		 →
↑
369.45 m
↓
↑
369.45 m
↓
N 52.779508°
W 28.624878°		 ← 369.49 m →
136 506 m²		 N 52.779508°
W 28.619385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420494079589844 y=0.326759338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420494079589844 × 216)
    floor (0.420494079589844 × 65536)
    floor (27557.5)     		tx = 27557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326759338378906 × 216)
    floor (0.326759338378906 × 65536)
    floor (21414.5)     		ty = 21414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27557 / 21414 ti = "16/27557/21414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27557/21414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27557 ÷ 216
    27557 ÷ 65536     		x = 0.420486450195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21414 ÷ 216
    21414 ÷ 65536     		y = 0.326751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420486450195312 × 2 - 1) × π
    -0.159027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49959837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326751708984375 × 2 - 1) × π
    0.34649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08855111657224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49959837} λ = -0.49959837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08855111657224))-π/2
    2×atan(2.96996781653453)-π/2
    2×1.24601525936858-π/2
    2.49203051873717-1.57079632675     		φ = 0.92123419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49959837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.624878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92123419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.782831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27557 KachelY 21414 -0.49959837 0.92123419 -28.624878 52.782831
    Oben rechts KachelX + 1 27558 KachelY 21414 -0.49950249 0.92123419 -28.619385 52.782831
    Unten links KachelX 27557 KachelY + 1 21415 -0.49959837 0.92117620 -28.624878 52.779508
    Unten rechts KachelX + 1 27558 KachelY + 1 21415 -0.49950249 0.92117620 -28.619385 52.779508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92123419-0.92117620) × R
    5.79899999999522e-05 × 6371000     		dl = 369.454289999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92123419-0.92117620) × R
    5.79899999999522e-05 × 6371000     		dr = 369.454289999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49959837--0.49950249) × cos(0.92123419) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.60483777192918 × 6371000     		do = 369.466048142814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49959837--0.49950249) × cos(0.92117620) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.604883951173923 × 6371000     		du = 369.49425680281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92123419)-sin(0.92117620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60483777192918-0.604883951173923)×R²
    abs(-0.49950249--0.49959837)×4.61792447435938e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61792447435938e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61792447435938e-05×40589641000000     		ar = 136506.027439149m²