Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27556 / 6340
↖ ↑ ↗
← N 80.924961°
W 28.630371°		 ← 96.34 m → N 80.924961°
W 28.624878°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 80.924094°
W 28.630371°		 ← 96.35 m →
9 281 m²		 N 80.924094°
W 28.624878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420478820800781 y=0.0967483520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420478820800781 × 216)
    floor (0.420478820800781 × 65536)
    floor (27556.5)     		tx = 27556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967483520507812 × 216)
    floor (0.0967483520507812 × 65536)
    floor (6340.5)     		ty = 6340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27556 / 6340 ti = "16/27556/6340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27556/6340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27556 ÷ 216
    27556 ÷ 65536     		x = 0.42047119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6340 ÷ 216
    6340 ÷ 65536     		y = 0.09674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42047119140625 × 2 - 1) × π
    -0.1590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49969424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09674072265625 × 2 - 1) × π
    0.8065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53375276631769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49969424} λ = -0.49969424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53375276631769))-π/2
    2×atan(12.6007050194628)-π/2
    2×1.49160166857121-π/2
    2.98320333714242-1.57079632675     		φ = 1.41240701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49969424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.630371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41240701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.924961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27556 KachelY 6340 -0.49969424 1.41240701 -28.630371 80.924961
    Oben rechts KachelX + 1 27557 KachelY 6340 -0.49959837 1.41240701 -28.624878 80.924961
    Unten links KachelX 27556 KachelY + 1 6341 -0.49969424 1.41239189 -28.630371 80.924094
    Unten rechts KachelX + 1 27557 KachelY + 1 6341 -0.49959837 1.41239189 -28.624878 80.924094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41240701-1.41239189) × R
    1.51199999998131e-05 × 6371000     		dl = 96.329519998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41240701-1.41239189) × R
    1.51199999998131e-05 × 6371000     		dr = 96.329519998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49969424--0.49959837) × cos(1.41240701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157727890237232 × 6371000     		do = 96.3382663448019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49969424--0.49959837) × cos(1.41239189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157742820956324 × 6371000     		du = 96.34738584542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41240701)-sin(1.41239189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157727890237232-0.157742820956324)×R²
    abs(-0.49959837--0.49969424)×1.49307190911163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49307190911163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49307190911163e-05×40589641000000     		ar = 9280.65819320738m²