Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27555 / 21411
↖ ↑ ↗
← N 52.792798°
W 28.635865°		 ← 369.38 m → N 52.792798°
W 28.630371°		 →
↑
369.39 m
↓
↑
369.39 m
↓
N 52.789476°
W 28.635865°		 ← 369.41 m →
136 451 m²		 N 52.789476°
W 28.630371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420463562011719 y=0.326713562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420463562011719 × 216)
    floor (0.420463562011719 × 65536)
    floor (27555.5)     		tx = 27555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326713562011719 × 216)
    floor (0.326713562011719 × 65536)
    floor (21411.5)     		ty = 21411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27555 / 21411 ti = "16/27555/21411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27555/21411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27555 ÷ 216
    27555 ÷ 65536     		x = 0.420455932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21411 ÷ 216
    21411 ÷ 65536     		y = 0.326705932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420455932617188 × 2 - 1) × π
    -0.159088134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49979012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326705932617188 × 2 - 1) × π
    0.346588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08883873796996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49979012} λ = -0.49979012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08883873796996))-π/2
    2×atan(2.97082216568776)-π/2
    2×1.24610223154987-π/2
    2.49220446309973-1.57079632675     		φ = 0.92140814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49979012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.635865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92140814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.792798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27555 KachelY 21411 -0.49979012 0.92140814 -28.635865 52.792798
    Oben rechts KachelX + 1 27556 KachelY 21411 -0.49969424 0.92140814 -28.630371 52.792798
    Unten links KachelX 27555 KachelY + 1 21412 -0.49979012 0.92135016 -28.635865 52.789476
    Unten rechts KachelX + 1 27556 KachelY + 1 21412 -0.49969424 0.92135016 -28.630371 52.789476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92140814-0.92135016) × R
    5.7980000000013e-05 × 6371000     		dl = 369.390580000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92140814-0.92135016) × R
    5.7980000000013e-05 × 6371000     		dr = 369.390580000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49979012--0.49969424) × cos(0.92140814) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.604699237920812 × 6371000     		do = 369.381424438772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49979012--0.49969424) × cos(0.92135016) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.604745415302118 × 6371000     		du = 369.409631960485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92140814)-sin(0.92135016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604699237920812-0.604745415302118)×R²
    abs(-0.49969424--0.49979012)×4.61773813060784e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61773813060784e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61773813060784e-05×40589641000000     		ar = 136451.228449154m²