Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27553 / 21601
↖ ↑ ↗
← N 52.157085°
W 28.646850°		 ← 374.72 m → N 52.157085°
W 28.641357°		 →
↑
374.81 m
↓
↑
374.81 m
↓
N 52.153714°
W 28.646850°		 ← 374.75 m →
140 452 m²		 N 52.153714°
W 28.641357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420433044433594 y=0.329612731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420433044433594 × 216)
    floor (0.420433044433594 × 65536)
    floor (27553.5)     		tx = 27553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329612731933594 × 216)
    floor (0.329612731933594 × 65536)
    floor (21601.5)     		ty = 21601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27553 / 21601 ti = "16/27553/21601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27553/21601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27553 ÷ 216
    27553 ÷ 65536     		x = 0.420425415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21601 ÷ 216
    21601 ÷ 65536     		y = 0.329605102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420425415039062 × 2 - 1) × π
    -0.159149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49998186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329605102539062 × 2 - 1) × π
    0.340789794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07062271611433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49998186} λ = -0.49998186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07062271611433))-π/2
    2×atan(2.91719551914455)-π/2
    2×1.24055459095962-π/2
    2.48110918191924-1.57079632675     		φ = 0.91031286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49998186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.646850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91031286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.157085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27553 KachelY 21601 -0.49998186 0.91031286 -28.646850 52.157085
    Oben rechts KachelX + 1 27554 KachelY 21601 -0.49988599 0.91031286 -28.641357 52.157085
    Unten links KachelX 27553 KachelY + 1 21602 -0.49998186 0.91025403 -28.646850 52.153714
    Unten rechts KachelX + 1 27554 KachelY + 1 21602 -0.49988599 0.91025403 -28.641357 52.153714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91031286-0.91025403) × R
    5.88299999999542e-05 × 6371000     		dl = 374.805929999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91031286-0.91025403) × R
    5.88299999999542e-05 × 6371000     		dr = 374.805929999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49998186--0.49988599) × cos(0.91031286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613498715315702 × 6371000     		do = 374.717512225534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49998186--0.49988599) × cos(0.91025403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613545172053088 × 6371000     		du = 374.745887432564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91031286)-sin(0.91025403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613498715315702-0.613545172053088)×R²
    abs(-0.49988599--0.49998186)×4.64567373862357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64567373862357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64567373862357e-05×40589641000000     		ar = 140451.663295349m²