Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27552 / 9378
↖ ↑ ↗
← N 77.876507°
W 28.652344°		 ← 128.29 m → N 77.876507°
W 28.646850°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
N 77.875353°
W 28.652344°		 ← 128.30 m →
16 462 m²		 N 77.875353°
W 28.646850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420417785644531 y=0.143104553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420417785644531 × 216)
    floor (0.420417785644531 × 65536)
    floor (27552.5)     		tx = 27552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143104553222656 × 216)
    floor (0.143104553222656 × 65536)
    floor (9378.5)     		ty = 9378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27552 / 9378 ti = "16/27552/9378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27552/9378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27552 ÷ 216
    27552 ÷ 65536     		x = 0.42041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9378 ÷ 216
    9378 ÷ 65536     		y = 0.143096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143096923828125 × 2 - 1) × π
    0.71380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24248816422623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50007774} λ = -0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24248816422623))-π/2
    2×atan(9.41673253932316)-π/2
    2×1.46499888844842-π/2
    2.92999777689684-1.57079632675     		φ = 1.35920145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35920145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.876507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27552 KachelY 9378 -0.50007774 1.35920145 -28.652344 77.876507
    Oben rechts KachelX + 1 27553 KachelY 9378 -0.49998186 1.35920145 -28.646850 77.876507
    Unten links KachelX 27552 KachelY + 1 9379 -0.50007774 1.35918131 -28.652344 77.875353
    Unten rechts KachelX + 1 27553 KachelY + 1 9379 -0.49998186 1.35918131 -28.646850 77.875353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35920145-1.35918131) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35920145-1.35918131) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50007774--0.49998186) × cos(1.35920145) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21001947287283 × 6371000     		do = 128.290705833252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50007774--0.49998186) × cos(1.35918131) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.210039163651906 × 6371000     		du = 128.302733974793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35920145)-sin(1.35918131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21001947287283-0.210039163651906)×R²
    abs(-0.49998186--0.50007774)×1.96907790757095e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.96907790757095e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.96907790757095e-05×40589641000000     		ar = 16462.0010273078m²