Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27549 / 7315
↖ ↑ ↗
← N 80.040014°
W 28.668823°		 ← 105.65 m → N 80.040014°
W 28.663330°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
N 80.039064°
W 28.668823°		 ← 105.66 m →
11 168 m²		 N 80.039064°
W 28.663330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420372009277344 y=0.111625671386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420372009277344 × 216)
    floor (0.420372009277344 × 65536)
    floor (27549.5)     		tx = 27549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111625671386719 × 216)
    floor (0.111625671386719 × 65536)
    floor (7315.5)     		ty = 7315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27549 / 7315 ti = "16/27549/7315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27549/7315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27549 ÷ 216
    27549 ÷ 65536     		x = 0.420364379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7315 ÷ 216
    7315 ÷ 65536     		y = 0.111618041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420364379882812 × 2 - 1) × π
    -0.159271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50036536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111618041992188 × 2 - 1) × π
    0.776763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44027581205858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50036536} λ = -0.50036536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44027581205858))-π/2
    2×atan(11.4762055822106)-π/2
    2×1.48387905092448-π/2
    2.96775810184895-1.57079632675     		φ = 1.39696178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50036536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.668823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39696178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.040014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27549 KachelY 7315 -0.50036536 1.39696178 -28.668823 80.040014
    Oben rechts KachelX + 1 27550 KachelY 7315 -0.50026948 1.39696178 -28.663330 80.040014
    Unten links KachelX 27549 KachelY + 1 7316 -0.50036536 1.39694519 -28.668823 80.039064
    Unten rechts KachelX + 1 27550 KachelY + 1 7316 -0.50026948 1.39694519 -28.663330 80.039064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39696178-1.39694519) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39696178-1.39694519) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50036536--0.50026948) × cos(1.39696178) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.172960366908595 × 6371000     		do = 105.653096107389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50036536--0.50026948) × cos(1.39694519) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.172976706853336 × 6371000     		du = 105.663077386817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39696178)-sin(1.39694519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172960366908595-0.172976706853336)×R²
    abs(-0.50026948--0.50036536)×1.63399447402346e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.63399447402346e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.63399447402346e-05×40589641000000     		ar = 11167.5198568062m²